首页 > 设函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx+m(x∈R)（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[0，π2]，是否存在实数m，使函数f（x）的值域恰为[12，72]？若存在，请求出m的取

设函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx+m(x∈R)（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[0，π2]，是否存在实数m，使函数f（x）的值域恰为[12，72]？若存在，请求出m的取

题目简介

设函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx+m(x∈R)（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[0，π2]，是否存在实数m，使函数f（x）的值域恰为[12，72]？若存在，请求出m的取

题目详情

设函数f(x)=2cos2x+2
3
sinxcosx+m(x∈R)
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[0，
π
2
]，是否存在实数m，使函数f（x）的值域恰为[
1
2
，
7
2
]？若存在，请求出m的取值；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：浙江模拟

答案

（I）由题意可得：
f（x）=2cos2x+2
3
sinxcosx+m
=1+cos2x+
3
sin2x+m
=2sin（2x+class="stub"π
6
）+m+1，
所以函数f（x）的最小正周期T=class="stub"2π
2
=π．
（Ⅱ）假设存在实数m符合题意，∵x∈[0，class="stub"π
2
]，
∴class="stub"π
6
≤2x+class="stub"π
6
≤class="stub"7π
6
，则sin(2x+class="stub"π
6
)∈[-class="stub"1
2
，1]…（9分）
∴f(x)=2sin(2x+class="stub"π
6
)+m+1∈[m，3+m]…（10分）
又∵f(x)∈[class="stub"1
2
，class="stub"7
2
]，解得  m=class="stub"1
2
…（13分）
∴存在实数m=class="stub"1
2
，使函数f（x）的值域恰为[class="stub"1
2
，class="stub"7
2
]…（14分）

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