已知函数f(x)=-23sin2x+sin2x+3.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)当x∈[0,π]时,求f(x)的最大值;(3)求满足f(a-x)=f(a+x)(x∈R)的所有的常数a.-

题目简介

已知函数f(x)=-23sin2x+sin2x+3.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)当x∈[0,π]时,求f(x)的最大值;(3)求满足f(a-x)=f(a+x)(x∈R)的所有的常数a.-

题目详情

已知函数f(x)=-2
3
sin2x+sin2x+
3
.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)当x∈[0,π]时,求f(x)的最大值;(3)求满足f(a-x)=f(a+x)(x∈R)的所有的常数a.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x)=-2
3
sin2x+sin2x+
3

=
3
(1-2sin2x)+sin2x

=sin2x+
3
cos2x

f(x)=2sin(2x+class="stub"π
3
)

class="stub"π
2
+2kπ≤2x+class="stub"π
3
≤class="stub"3π
2
+2kπ,k∈Z
可得kπ+class="stub"π
12
≤x≤kπ+class="stub"7π
12
,k∈Z
函数的单减区间为[kπ+class="stub"π
12
, kπ+class="stub"7π
12
]
(k∈Z)
(2)∵x∈[0,π]∴class="stub"π
3
≤2x+ class="stub"π
3
≤class="stub"7π
3

-1≤sin(2x+class="stub"π
3
)≤1

∴函数的最大值为2           
(3)由f(a-x)=f(a+x)(x∈R)可得函数关于x=a对称即考虑对称轴
2x+class="stub"π
3
=kπ+class="stub"π
2

x=class="stub"kπ
2
+class="stub"π
12

a=class="stub"kπ
2
+class="stub"π
12
(k∈Z)

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