已知函数f(x)=23sinxcosx-2cos(x+π4)cos(x-π4).(I)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(II)求函数f(x)在区间[-π12,π2]上的值域.-数学

题目简介

已知函数f(x)=23sinxcosx-2cos(x+π4)cos(x-π4).(I)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(II)求函数f(x)在区间[-π12,π2]上的值域.-数学

题目详情

已知函数f(x)=2
3
sinxcosx-2cos(x+
π
4
)cos(x-
π
4
).
(I)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;
(II)求函数f(x)在区间[-
π
12
π
2
]上的值域.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)求函数f(x)=2
3
sinxcosx-2cos(x+class="stub"π
4
)cos(x-class="stub"π
4
)=
3
sin2x+sin(2x-class="stub"π
2
)=
3
sin2x-cos2x=2sin(2x-class="stub"π
6
).
故函数f(x)的最小正周期为 class="stub"2π
2
=π,再由2x-class="stub"π
6
=kπ+class="stub"π
2
可得对称轴方程为 x=class="stub"kπ
2
+class="stub"π
3
,k∈z.
(II)∵-class="stub"π
12
≤x≤class="stub"π
12
,∴-class="stub"π
3
≤2x-class="stub"π
6
class="stub"5π
6
,故当 2x-class="stub"π
6
=class="stub"π
2
时,函数取得最大值为2,当 2x-class="stub"π
6
=-class="stub"π
3
时,函数取得最小值为-2
3
×class="stub"1
2
=-
3

故函数f(x)在区间[-class="stub"π
12
,class="stub"π
2
]上的值域为[-
3
,2].

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