已知f(x)=2sin2ωx+23sinωxsin(π2-ωx)(ω>0)最小正周期为π(1)求函数f(x)的单调递增区间及对称中心坐标;(2)求函数f(x)在区间[0,2π3]上的取值范围.-数学

题目简介

已知f(x)=2sin2ωx+23sinωxsin(π2-ωx)(ω>0)最小正周期为π(1)求函数f(x)的单调递增区间及对称中心坐标;(2)求函数f(x)在区间[0,2π3]上的取值范围.-数学

题目详情

已知f(x)=2sin2ωx+2
3
sinωxsin(
π
2
-ωx)(ω>0)最小正周期为π
(1)求函数f(x)的单调递增区间及对称中心坐标;
(2)求函数f(x)在区间[0,
3
]上的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x)=2sin2ωx+2
3
sinωxsin(class="stub"π
2
-ωx)=1-cos2ωx+
3
sin2ωx=2sin(2ωx-class="stub"π
6
)+1,
∵T=class="stub"2π
ω
=π,∴ω=1,∴f(x)=2sin(2x-class="stub"π
6
)+1.
令  2kπ-class="stub"π
2
≤2x-class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"π
2
,k∈z,可得 kπ-class="stub"π
6
≤x≤kπ+class="stub"π
3
,k∈z,故函数的增区间为[kπ-class="stub"π
6
,kπ+class="stub"π
3
],k∈z.
令2x-class="stub"π
6
=kπ,k∈z,解得 x=class="stub" kπ
2
+class="stub"π
12
,k∈z,故函数的对称中心为 ( class="stub" kπ
2
+class="stub"π
12
,0),k∈z.
(2)∵0≤x≤class="stub"2π
3
,∴-class="stub"π
6
≤2x-class="stub"π
6
class="stub"7π
6
,∴-class="stub"1
2
≤sin(2x-class="stub"π
6
)≤1,∴0≤f(x)≤3,
故函数f(x)在区间[0,class="stub"2π
3
]上的取值范围是[0,3].

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