在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,q=(2a,1),p=(2b-c,cosC)且p∥q.求:(I)求sinA的值;(II)求三角函数式-2cos2C1+tanC+1的取值范围.-数学

题目简介

在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,q=(2a,1),p=(2b-c,cosC)且p∥q.求:(I)求sinA的值;(II)求三角函数式-2cos2C1+tanC+1的取值范围.-数学

题目详情

在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,
q
=(2a,1),
p
=(2b-c,cosC)且
p
q

求:
(I)求sinA的值;
(II)求三角函数式
-2cos2C
1+tanC
+1
的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:洛阳模拟

答案

(I)∵
p
q
,∴2acosC=1×(2b-c),
根据正弦定理,得2sinAcosC=2sinB-sinC,
又∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
∴2cosAsinC-sinC=0,即sinC(2cosA-1)=0
∵C是三角形内角,sinC≠0
∴2cosA-1=0,可得cosA=class="stub"1
2

∵A是三角形内角,
∴A=class="stub"π
3
,得sinA=
3
2
            …(5分)
(II)class="stub"-2cos2C
1+tanC
+1
=
2(sin2C-cos2C)
1+class="stub"sinC
cosC
+1
=2cosC(sinC-cosC)+1=sin2C-cos2C,
class="stub"-2cos2C
1+tanC
+1
=
2
sin(2C-class="stub"π
4
),
∵A=class="stub"π
3
,得C∈(0,class="stub"2π
3
),
∴2C-class="stub"π
4
∈(-class="stub"π
4
class="stub"13π
12
),可得-
2
2
<sin(2C-class="stub"π
4
)≤1,
∴-1<
2
sin(2C-class="stub"π
4
2

即三角函数式class="stub"-2cos2C
1+tanC
+1
的取值范围是(-1,
2
].     …(11分)

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