已知sinα+cosβ=13,sinβ-cosα=12,则sin(α-β)=______.-数学

题目简介

已知sinα+cosβ=13,sinβ-cosα=12,则sin(α-β)=______.-数学

题目详情

已知sinα+cosβ=
1
3
,sinβ-cosα=
1
2
,则sin(α-β)=______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

∵sinα+cosβ=class="stub"1
3
,sinβ-cosα=class="stub"1
2

∴(sinα+cosβ)2=class="stub"1
9
,(sinβ-cosα)2=class="stub"1
4

即sin2α+2sinαcosβ+cos2β=class="stub"1
9
①,sin2β-2sinβcosα+cos2α=class="stub"1
4
②,
①+②得:sin2α+2sinαcosβ+cos2β+sin2β-2sinβcosα+cos2α
=(sin2α+cos2α)+(cos2β+sin2β)+2(sinαcosβ-sinβcosα)
=1+1+2sin(α-β)=2+2sin(α-β)=class="stub"13
36

则sin(α-β)=-class="stub"59
72

故答案为:-class="stub"59
72

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