首页 > 已知向量OA=(cosα，sinα)（α∈[-π，0]）．向量m=（2，1），n=(0，-5)，且m⊥(OA-n）．（Ⅰ）求向量OA；（Ⅱ）若cos(β-π)=210，0＜β＜π，求cos（2α-β）

已知向量OA=(cosα，sinα)（α∈[-π，0]）．向量m=（2，1），n=(0，-5)，且m⊥(OA-n）．（Ⅰ）求向量OA；（Ⅱ）若cos(β-π)=210，0＜β＜π，求cos（2α-β）

题目简介

已知向量OA=(cosα，sinα)（α∈[-π，0]）．向量m=（2，1），n=(0，-5)，且m⊥(OA-n）．（Ⅰ）求向量OA；（Ⅱ）若cos(β-π)=210，0＜β＜π，求cos（2α-β）

题目详情

已知向量
OA
=(cosα，sinα)（α∈[-π，0]）．向量m=（2，1），n=(0，-
5
)，且m⊥(
OA
-n）．
（Ⅰ）求向量
OA
；
（Ⅱ）若cos(β-π)=
2
10
，0＜β＜π，求cos（2α-β）．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵
OA
=(cosα，sinα)，
∴
OA
-
n
=(cosα，sinα+
5
)，
∵
m
⊥(
OA
-
n
)，∴
m
•(
OA
-
n
)=0，
即2cosα+(sinα+
5
)=0           ①
又sin2α+cos2α=1                      ②
由①②联立方程解得，
cosα=-
2
5
5
，sinα=-
5
5
．
∴
OA
=(-
2
5
5
，-
5
5
)

（Ⅱ）∵cos(β-π)=
2
10

即cosβ=-
2
10
，0＜β＜π，
∴sinβ=
7
2
10
，class="stub"π
2
＜β＜π
又∵sin2α=2sinαcosα=2×(-
5
5
)×(-
2
5
5
)=class="stub"4
5
，
cos2α=2cos2α-1=2×class="stub"4
5
-1=class="stub"3
5
，
∴cos(2α-β)=cos2αcosβ+sin2αsinβ=class="stub"3
5
×(-
2
10
)+class="stub"4
5
×
7
2
10
=
25
2
50
=
2
2
．

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