首页 > 已知f(x)=2cos2x+23sinxcosx+1．（1）求f(π4)的值；（2）若x∈[-π2，0]时，求f(x)的值域；（3）求y=f（-x）的单调递增区间．-数学

已知f(x)=2cos2x+23sinxcosx+1．（1）求f(π4)的值；（2）若x∈[-π2，0]时，求f(x)的值域；（3）求y=f（-x）的单调递增区间．-数学

题目简介

已知f(x)=2cos2x+23sinxcosx+1．（1）求f(π4)的值；（2）若x∈[-π2，0]时，求f(x)的值域；（3）求y=f（-x）的单调递增区间．-数学

题目详情

已知f(x)=2cos2x+2
3
sinxcosx+1．
（1）求f(
π
4
)的值；
（2）若x∈[-
π
2
，0]时，求f(x)的值域；
（3）求y=f（-x）的单调递增区间．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f(x)=2cos2x+2
3
sinxcosx+1
=2×class="stub"1+cos2x
2
+
3
sin2x+1
=
3
sin2x+cos2x+2
=2sin（2x+class="stub"π
6
）+2．
∴f(class="stub"π
4
) =2sin(class="stub"π
2
+class="stub"π
6
)+2
=2cosclass="stub"π
6
+2
=
3
+2．
（2）若x∈[-class="stub"π
2
，0]，
则2x+class="stub"π
6
∈[-class="stub"5π
6
，class="stub"π
6
]，
∴2x+class="stub"π
6
=-class="stub"π
2
时，f（x）min=-2+2=0，
2x+class="stub"π
6
=class="stub"π
6
时，f（x）max=1+2=3，
∴f（x）的值域是[0，3]．
（3）y=f（-x）=2sin（-2x+class="stub"π
6
）+2，
其增区间为：-class="stub"π
2
+2kπ≤-2x+class="stub"π
6
≤class="stub"π
2
+2kπ，k∈Z，
解得-class="stub"π
6
-kπ≤x≤class="stub"π
3
-kπ，k∈Z，
∴y=f（-x）的单调递增区间是[-class="stub"π
6
-kπ，class="stub"π
3
-kπ]，k∈Z．

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