首页 > 设函数f(x)=3sinxcosx+cos2x+a．（Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）当x∈[-π6，π3]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为32，求f（x）的解析式；（Ⅲ）将满足（

设函数f(x)=3sinxcosx+cos2x+a．（Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）当x∈[-π6，π3]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为32，求f（x）的解析式；（Ⅲ）将满足（

题目简介

设函数f(x)=3sinxcosx+cos2x+a．（Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）当x∈[-π6，π3]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为32，求f（x）的解析式；（Ⅲ）将满足（

题目详情

设函数f(x)=
3
sinxcosx+cos2x+a．
（Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）当x∈[-
π
6
，
π
3
]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为
3
2
，求f（x）的解析式；
（Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数f（x）的图象向右平移
π
12
个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移
1
2
，得到函数g（x），求g（x）图象与x轴的正半轴、直线x=
π
2
所围成图形的面积．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

解（Ⅰ）函数f(x)=
3
sinxcosx+cos2x+a=
3
2
sin2x+class="stub"1+cosx
2
+a=sin（2x+class="stub"π
6
）+a+class="stub"1
2
．
∵ω=2，
∴T=π
由class="stub"π
2
+2kπ≤2x+class="stub"π
6
≤class="stub"3π
2
+2kπ，得class="stub"π
6
+kπ≤x≤class="stub"2π
3
+kπ，（k∈Z），
故函数f（x）的单调递减区间是[class="stub"π
6
+kπ，class="stub"2π
3
+kπ]，（k∈Z）．
（II）∵x∈[-class="stub"π
6
，class="stub"π
3
]
∴2x+class="stub"π
6
∈[-class="stub"π
6
，class="stub"5π
6
]
∴sin（2x+class="stub"π
6
）∈[-class="stub"1
2
，1]
∴当x∈[-class="stub"π
6
，class="stub"π
3
]时，原函数的最大值与最小值的和-class="stub"1
2
+a+class="stub"1
2
+1+a+class="stub"1
2
=class="stub"3
2
，
解得：a=0
∴f（x）=sin（2x+class="stub"π
6
）+class="stub"1
2

（3）将满足（Ⅱ）的函数f（x）sin（2x+class="stub"π
6
）+class="stub"1
2
的图象向右平移class="stub"π
12
个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移class="stub"1
2
，得到函数g（x）=sinx的图象
∵
∫class="stub"π
2
0
sinxdx=-cosx
|class="stub"π
2
0
=1，即g（x）图象与x轴的正半轴、直线x=class="stub"π
2
所围成图形的面积为1

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