首页 > 已知向量.a=（cos3θ2，sin3θ2），.b=（cosθ2，-sinθ2），θ∈[0，π3]，（I）求.a..b|.a+.b|的最大值和最小值；（II）若|k.a+.b|=3|.a-k.b|（k

已知向量.a=（cos3θ2，sin3θ2），.b=（cosθ2，-sinθ2），θ∈[0，π3]，（I）求.a..b|.a+.b|的最大值和最小值；（II）若|k.a+.b|=3|.a-k.b|（k

题目简介

已知向量.a=（cos3θ2，sin3θ2），.b=（cosθ2，-sinθ2），θ∈[0，π3]，（I）求.a..b|.a+.b|的最大值和最小值；（II）若|k.a+.b|=3|.a-k.b|（k

题目详情

已知向量
.
a
=（cos
3θ
2
，sin
3θ
2
），
.
b
=（cos
θ
2
，-sin
θ
2
），θ∈[0，
π
3
]，
（I）求
.
a
.
.
b
|
.
a
+
.
b
|
的最大值和最小值；
（II）若|k
.
a
+
.
b
|=
3
|
.
a
-k
.
b
|（k∈R），求k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵
.
a
=（cosclass="stub"3θ
2
，sinclass="stub"3θ
2
），
.
b
=（cosclass="stub"θ
2
，-sinclass="stub"θ
2
），
∴
a
•
b
=cosclass="stub"3θ
2
cosclass="stub"θ
2
-sinclass="stub"3θ
2
sinclass="stub"θ
2
=cos2θ
∵|
a
+
b
|2=
a
2+
b
2+2
a
•
b
=2+2cos2θ=4cos2θ
∴|
a
+ 
b
|=2cosθ，θ∈[0，class="stub"π
3
]
∴
a
•
b
|
a
+
b
|
=class="stub"cos2θ
2cosθ
=
2cos2θ-1
2cosθ

令t=cosθ，则t∈[class="stub"1
2
，1]，y=
a
•
b
|
a
+
b
|
=
2t2-1
2t
=t-class="stub"1
2t
，t∈[class="stub"1
2
，1]
则y′=1+class="stub"1
2t2
＞0
∴y=t-class="stub"1
2t
在[class="stub"1
2
，1]上单调递增
∴ymax=class="stub"1
2
，ymin=-class="stub"1
2

（2）由|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|可得(k
a
+
b
)2=3(
a
-k
b
)2
即k2
a
2+
b
2+2k
a
•
b
=3(
a
2-2k
a
•
b
+k2
b
2)
又∵|
a
|=|
b
|=1
∴k2+1+2k
a
•
b
=3(1+k2-2k
a
•
b
)
∴
a
•
b
=
1+k2
4k

由
a
•
b
=cos2θ，θ∈[0，class="stub"π
3
]可得，-class="stub"1
2
≤
a
•
b
≤1
∴-class="stub"1
2
≤
1+k2
4k
≤1
∴
1+k2
4k
+class="stub"1
2
≥ 0
1+k2
4k
-1≤0

∴
(k+1)2
4k
≥0
k2-4k+1
4k
≤0

解可得，
k=-1或k＞0
k＜0或2-
3
≤k≤2+
3

∴k=-1或2-
3
≤k≤2+
3

综上可得，k得取值范围为{k|k=-1或2-
3
≤k≤2+
3
}

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