已知锐角三角形△ABC内角A、B、C对应边分别为a,b,c.tanA=3bcb2+c2-a2.(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)求cosB+cosC的取值范围.-数学

题目简介

已知锐角三角形△ABC内角A、B、C对应边分别为a,b,c.tanA=3bcb2+c2-a2.(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)求cosB+cosC的取值范围.-数学

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已知锐角三角形△ABC内角A、B、C对应边分别为a,b,c.tanA=
3
bc
b2+c2-a2

(Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)求cosB+cosC的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)由余弦定理知,b2+c2-a2=2bccosA,
tanA=
3
2cosA
⇒sinA=
3
2

A∈(0,class="stub"π
2
)

A=class="stub"π
3

(Ⅱ)∵△ABC为锐角三角形,且B+C=class="stub"2π
3

class="stub"π
6
<B=class="stub"2π
3
-C<class="stub"π
2

cosB+cosC=cosB+cos(class="stub"2π
3
-B)

=cosB+cosclass="stub"2π
3
cosB+sinclass="stub"2π
3
sinB

=class="stub"1
2
cosB+
3
2
sinB
=sin(B+class="stub"π
6
)

class="stub"π
3
<B+class="stub"π
6
<class="stub"2π
3

3
2
<sin(B+class="stub"π
6
)≤1

即cosB+cosC的取值范围是(
3
2
,1]

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