已知函数f(x)=sin2x(sinx+cosx)cosx.(Ⅰ)求f(x)的定义域及最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在区间[-π6,π4]上的最大值和最小值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=sin2x(sinx+cosx)cosx.(Ⅰ)求f(x)的定义域及最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在区间[-π6,π4]上的最大值和最小值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
sin2x(sinx+cosx)    
cosx

(Ⅰ)求f(x)的定义域及最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)在区间[-
π
6
π
4
]上的最大值和最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)因为cosx≠0,所以x≠kπ+class="stub"π
2
,k∈Z.
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ+class="stub"π
2
,k∈Z}          …(2分)
f(x)=
sin2x(sinx+cosx)    
cosx
=2sinx(sinx+cosx)=2sin2x+sin2x
=sin2x-cos2x+1=
2
sin(2x-class="stub"π
4
)+1                   …(5分)
∴f(x)的最小正周期T=class="stub"2π
2
=π             …(7分)
(Ⅱ)因为x∈[-class="stub"π
6
,class="stub"π
4
],所以2x-class="stub"π
4
∈[-class="stub"7π
12
class="stub"π
4
]…(9分)
当2x-class="stub"π
4
=class="stub"π
4
时,即x=class="stub"π
4
时,f(x)的最大值为2;      …(11分)
当2x-class="stub"π
4
=-class="stub"π
2
时,即x=-class="stub"π
8
时,f(x)的最小值为-
2
+1.…(13分)

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