设a、b、c分别是△ABC三个内角∠A、∠B、∠C的对边,若向量m=(1-cos(A+B),cosA-B2),n=(58,cosA-B2)且m•n=98,(1)求tanA•tanB的值;(2)求abs

题目简介

设a、b、c分别是△ABC三个内角∠A、∠B、∠C的对边,若向量m=(1-cos(A+B),cosA-B2),n=(58,cosA-B2)且m•n=98,(1)求tanA•tanB的值;(2)求abs

题目详情

设a、b、c分别是△ABC三个内角∠A、∠B、∠C的对边,若向量
m
=(1-cos(A+B),cos
A-B
2
)
n
=(
5
8
,cos
A-B
2
)
m
n
=
9
8

(1)求tanA•tanB的值;
(2)求
absinC
a2+b2-c2
的最大值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由
m
n
=class="stub"9
8
,得class="stub"5
8
[1-cos(A+B)]+cos2class="stub"A-B
2
=class="stub"9
8
.…(2分)
即  class="stub"5
8
[1-cos(A+B)]+
1+cos(A-B)
2
=class="stub"9
8

亦即  4cos(A-B)=5cos(A+B),…(4分)
所以  tanA•tanB=class="stub"1
9
.…(6分)
(2)因class="stub"absinC
a2+b2-c2
=class="stub"absinC
2abcosC
=class="stub"1
2
tanC
,…(8分)
tan(A+B)=class="stub"tanA+tanB
1-tanAtanB
=class="stub"9
8
(tanA+tanB)≥class="stub"9
8
×2
tanA•tanB
=class="stub"3
4

所以,tan(A+B)有最小值class="stub"3
4
,…(10分) 
  当且仅当tanA=tanB=class="stub"1
3
时,取得最小值.
又tanC=-tan(A+B),则tanC有最大值-class="stub"3
4
,故class="stub"absinC
a2+b2-c2
的最大值为-class="stub"3
8
.…(13分)

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