设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,函数g(x)与f(x)的图象关于y轴对称,且当x∈(0,1)时,g(x)=1nx-ax2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若对于区间(0,1)上任意的x,

题目简介

设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,函数g(x)与f(x)的图象关于y轴对称,且当x∈(0,1)时,g(x)=1nx-ax2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若对于区间(0,1)上任意的x,

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设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,函数g(x)与f(x)的图象关于y轴对称,且当x∈(0,1)时,g(x)=1nx-ax2
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若对于区间(0,1)上任意的x,都有|f(x)|≥1成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:南通一模

答案

(1)∵g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,
∴f(x)的图象上任意一点P(x,y)关于y轴对称的对称点Q(-x,y)在g(x)的图象上.
当x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],则f(x)=g(-x)=ln(-x)-ax2.(2分)
∵f(x)为[-1,1]上的奇函数,则f(0)=0.(4分)
当x∈(0,1]时,-x∈[-1,0),f(x)=-f(-x)=-lnx+ax2.(6分)
∴f(x)=
ln(-x)-ax2(-1≤x<0)
0  (x=0)
-lnx+ax2(0<x≤1)
(7分)
(2)由(1)知,f'(x)=-class="stub"1
x
+2ax.
①若f'(x)≤0在(0,1]恒成立,则-class="stub"1
x
+2ax≤
0⇒a≤class="stub"1
2x2

此时,a≤class="stub"1
2
,f(x)在(0,1]上单调递减,f(x)min=f(1)=a,
∴f(x)的值域为[a,+∞)与|f(x)|≥1矛盾.(11分)
②当a>class="stub"1
2
时,令f'(x)=-class="stub"1
x
+2ax=0
⇒x=
class="stub"1
2a
∈(0,1],
∴当x∈(0,
class="stub"1
2a
)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(
class="stub"1
2a
,1]时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
∴f(x)min=f(
class="stub"1
2a
)=-ln
class="stub"1
2a
+a
class="stub"1
2a
)
2
=class="stub"1
2
ln2a+class="stub"1
2

由|f(x)|≥1,得class="stub"1
2
ln2a+class="stub"1
2
≥1⇒≥class="stub"e
2
.(15分)
综上所述,实数a的取值范围为a≥class="stub"e
2
.(16分)

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