首页 > 已知函数f(x)=13x3-ax+b，其中实数a，b是常数．（Ⅰ）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f（1）≥0”发生的概率；（Ⅱ）若f（x）是R上的奇函数，g（a）是f（x）在

已知函数f(x)=13x3-ax+b，其中实数a，b是常数．（Ⅰ）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f（1）≥0”发生的概率；（Ⅱ）若f（x）是R上的奇函数，g（a）是f（x）在

题目简介

已知函数f(x)=13x3-ax+b，其中实数a，b是常数．（Ⅰ）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f（1）≥0”发生的概率；（Ⅱ）若f（x）是R上的奇函数，g（a）是f（x）在

题目详情

已知函数f(x)=
1
3
x3-ax+b，其中实数a，b是常数．
（Ⅰ）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f（1）≥0”发生的概率；
（Ⅱ）若f（x）是R上的奇函数，g（a）是f（x）在区间[-1，1]上的最小值，求当|a|≥1时g（a）的解析式；
（Ⅲ）记y=f（x）的导函数为f′（x），则当a=1时，对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]使得f（x1）=f′（x2），求实数b的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：中山一模

答案

（Ⅰ）由已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，可知：共有3×3=9个函数，即基本事件的总数为9个．
若f（1）≥0，得到class="stub"1
3
-a+b≥0，即a≤b+class="stub"1
3
：①当a=0时，b=0，1，2都满足；②当a=1时，b=1，2满足；③当a=2时，b=2满足．
故满足：“f（1）≥0”的事件A包括6个基本事件，故P（A）=class="stub"6
9
=class="stub"2
3
．
（II）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0=b，
∴f(x)=class="stub"1
3
x3-ax，f′（x）=x2-a．
①当a≤-1时，f′（x）≥0，∴函数f（x）在区间[-1，1]上单调递增，∴g（a）=f（-1）=-class="stub"1
3
+a；
②当a≥1时，∵x∈[-1，1]，∴f′（x）=x2-a≤0，
∴函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减，∴g（a）=f（1）=class="stub"1
3
-a．
（Ⅲ）当a=1时，f(x)=class="stub"1
3
x3-x+b，∴f′（x）=x2-1，当x∈（0，1]时，f′（x）＜0；当x∈（1，2]时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，2）上单调递增，即f(x)min=f(1)=-class="stub"2
3
+b．
又∵f（0）=b，f(2)=class="stub"2
3
+b＞f(0)，当x∈[0，2]时，f(x)∈[-class="stub"2
3
+b，class="stub"2
3
+b]．
而f′（x）=x2-1在[0，2]上单调递增，f'（x）∈[-1，3]，
且 对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]使得f（x1）=f'（x2），
∴f（x）的值域⊆f′（x）的值域，即[-class="stub"2
3
+b，class="stub"2
3
+b]⊆[-1，3]．
∴-class="stub"2
3
+b≥-1且class="stub"2
3
+b≤3，解得-class="stub"1
3
≤b≤class="stub"7
3

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