已知函数f(x)=3x+1-13x-1,函数g(x)=2-f(-x).(Ⅰ)判断函数g(x)的奇偶性;(Ⅱ)若当x∈(-1,0)时,g(x)<tf(x)恒成立,求实数t的最大值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=3x+1-13x-1,函数g(x)=2-f(-x).(Ⅰ)判断函数g(x)的奇偶性;(Ⅱ)若当x∈(-1,0)时,g(x)<tf(x)恒成立,求实数t的最大值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
3x+1-1
3x-1
,函数g(x)=2-f(-x).
(Ⅰ)判断函数g(x)的奇偶性;
(Ⅱ)若当x∈(-1,0)时,g(x)<tf(x)恒成立,求实数t的最大值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)因为f(x)=
3x+1-1
3x-1
,函数g(x)=2-f(-x).
所以g(x)=2-
3-x+1-1
3-x-1
=2-
3-3x
1-3x
=
3x+1
3x-1
,定义域为{x|x≠0}关于原点对称,
因为g(-x)=
3-x+1
3-x-1
=
1+3x
1-3x
=-
3x+1
3x-1
=-g(x)

所以g(x)是奇函数.
(Ⅱ)由g(x)<tf(x)得,
3x+1
3x-1
<t•
3x+1-1
3x-1
,(*)
 当x∈(-1,0)时,class="stub"1
3
3x<1
-class="stub"2
3
3x-1<0

(*)式化为3x+1>t(3x+1-1),(**) …(9分)
设3x=u,u∈(class="stub"1
3
,1)
,则(**) 式化为  (3t-1)u-t-1<0,…(11分)
再设h(u)=(3t-1)u-t-1,
则g(x)<tf(x)恒成立等价于
h(class="stub"1
3
)≤0
h(1)≤0
(3t-1)•class="stub"1
3
-t-1≤0
(3t-1)•1-t-1≤0
t∈R
t≤1

解得t≤1,故实数t的最大值为1.…(14分)

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