已知函数f(x)=13ax3-14x2+cx+d(a,c,d∈R)满足f(0)=0,f'(1)=0,且f'(x)≥0在R上恒成立.(1)求a,c,d的值;(2)若h(x)=34x2

题目简介

已知函数f(x)=13ax3-14x2+cx+d(a,c,d∈R)满足f(0)=0,f'(1)=0,且f'(x)≥0在R上恒成立.(1)求a,c,d的值;(2)若h(x)=34x2

题目详情

已知函数f(x)=
1
3
ax3-
1
4
x2
+cx+d(a,c,d∈R)满足f(0)=0,f'(1)=0,且f'(x)≥0在R上恒成立.
(1)求a,c,d的值;
(2)若h(x)=
3
4
x2-bx+
b
2
-
1
4
,解不等式f'(x)+h(x)<0;
(3)是否存在实数m,使函数g(x)=f'(x)-mx在区间[m,m+2]上有最小值-5?若存在,请求出实数m的值;若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:嘉定区二模

答案

(1)∵f(0)=0,∴d=0
f′(x)=ax2-class="stub"1
2
x+c及f′(1)=0,有a+c=class="stub"1
2

f′(x)≥0在R上恒成立,即ax2-class="stub"1
2
x+c≥0
恒成立
显然a=0时,上式不能恒成立∴a≠0,函数f′(x)=ax2-class="stub"1
2
x+class="stub"1
2
-a
是二次函数
由于对一切x∈R,都有f'(x)≥0,于是由二次函数的性质可得
a>0
(-class="stub"1
2
)2-4a(class="stub"1
2
-a)≤0.

a>0
a2-class="stub"1
2
a+class="stub"1
16
≤0
,即
a>0
(a-class="stub"1
4
)2≤0
,解得:a=class="stub"1
4
a=c=class="stub"1
4

(2)∵a=c=class="stub"1
4
.
f′(x)=class="stub"1
4
x2-class="stub"1
2
x+class="stub"1
4
.

由f′(x)+h(x)<0,即class="stub"1
4
x2-class="stub"1
2
x+class="stub"1
4
+class="stub"3
4
x2-bx+class="stub"b
2
-class="stub"1
4
<0

x2-(b+class="stub"1
2
)x+class="stub"b
2
<0,即(x-b)(x-class="stub"1
2
)<0

b>class="stub"1
2
时,解集为(class="stub"1
2
,b),当b<class="stub"1
2
时,解集为(b,class="stub"1
2
)
,当b=class="stub"1
2
时,解集为ϕ

(3)∵a=c=class="stub"1
4
,∴f′(x)=class="stub"1
4
x2-class="stub"1
2
x+class="stub"1
4

g(x)=f′(x)-mx=class="stub"1
4
x2-(class="stub"1
2
+m)x+class="stub"1
4
.

该函数图象开口向上,且对称轴为x=2m+1.
假设存在实数m使函数g(x)=f′(x)-mx=class="stub"1
4
x2-(class="stub"1
2
+m)x+class="stub"1
4
区间[m.m+2]上有最小值-5.
①当m<-1时,2m+1<m,函数g(x)在区间[m,n+2]上是递增的.
g(m)=-5,即class="stub"1
4
m2-(class="stub"1
2
+m)m+class="stub"1
4
=-5.

解得m=-3或m=class="stub"7
3
.
class="stub"7
3
>-1
,∴m=class="stub"7
3
舍去
②当-1≤m<1时,m≤2m+1<m+2,函数g(x)在区间[m,2m+1]上是递减的,
而在区间[2m+1,m+2]上是递增的,∴g(2m+1)=-5.
class="stub"1
4
(2m+1)2-(class="stub"1
2
+m)(2m+1)+class="stub"1
4
=-5

解得m=-class="stub"1
2
-class="stub"1
2
21
或m=-class="stub"1
2
+class="stub"1
2
21
,均应舍去
③当m≥1时,2m+1≥m+2,函数g(x)在区间[m,m+2]上递减的∴g(m+2)=-5
class="stub"1
4
(m+2)2-(class="stub"1
2
+m)(m+2)+class="stub"1
4
=-5.

解得m=-1-2
2
或m-1+2
2
.其中m-1-2
2
应舍去.
综上可得,当m=-3或m=-1+2
2
时,
函数g(x)=f'(x)-mx在区间[m,m+2]上有最小值-5.

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