设f(x)=-2x+a2x+1+b(a,b为实常数).(1)当a=b=1时,证明:f(x)不是奇函数;(2)设f(x)是奇函数,求a与b的值;(3)求(2)中函数f(x)的值域.-数学

题目简介

设f(x)=-2x+a2x+1+b(a,b为实常数).(1)当a=b=1时,证明:f(x)不是奇函数;(2)设f(x)是奇函数,求a与b的值;(3)求(2)中函数f(x)的值域.-数学

题目详情

f(x)=
-2x+a
2x+1+b
(a,b为实常数).
(1)当a=b=1时,证明:f(x)不是奇函数;
(2)设f(x)是奇函数,求a与b的值;
(3)求(2)中函数f(x)的值域.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x)=
-2x+1
2x+1+1

f(1)=class="stub"-2+1
22+1
=-class="stub"1
5
f(-1)=
-class="stub"1
2
+1
2
=class="stub"1
4

所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数;(4分)
(2)f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),
-2-x+a
2-x+1+b
=-
-2x+a
2x+1+b
对任意实数x成立,
化简整理得(2a-b)•22x+(2ab-4)•2x+(2a-b)=0,这是关于x的恒等式,
所以
2a-b=0
2ab-4=0
所以
a=-1
b=-2
a=1
b=2
;(8分)
(3)f(x)=
-2x+1
2x+1+2
=-class="stub"1
2
+class="stub"1
2x+1
,因为2x>0,所以2x+1>1,0<class="stub"1
2x+1
<1

从而-class="stub"1
2
<f(x)<class="stub"1
2
;所以函数f(x)的值域为(-class="stub"1
2
,class="stub"1
2
)
.(13分)

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