首页 > 设f（x）=ax2+bx+1，（a，b为常数）．若f(12)=0，且f（x）的最小值为0，（1）若g(x)=f(x)+k-1x在[1，2]上是单调函数，求k的取值范围．（2）若g(x)=f(x)+k-

设f（x）=ax2+bx+1，（a，b为常数）．若f(12)=0，且f（x）的最小值为0，（1）若g(x)=f(x)+k-1x在[1，2]上是单调函数，求k的取值范围．（2）若g(x)=f(x)+k-

题目简介

设f（x）=ax2+bx+1，（a，b为常数）．若f(12)=0，且f（x）的最小值为0，（1）若g(x)=f(x)+k-1x在[1，2]上是单调函数，求k的取值范围．（2）若g(x)=f(x)+k-

题目详情

设f（x）=ax2+bx+1，（a，b为常数）．若f(
1
2
)=0，且f（x）的最小值为0，
（1）若g(x)=
f(x)+k-1
x
在[1，2]上是单调函数，求k的取值范围．
（2）若g(x)=
f(x)+k-1
x
，对任意x∈[1，2]，存在x0∈[-2，2]，使g（x）＜f（x0）成立．求k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f（x）=ax2+bx+1，f(class="stub"1
2
)=0，f（x）的最小值为0，
∴
class="stub"a
4
+class="stub"b
2
+1=0
4a-b2
4a
=0
，解得a=4，b=-4，
∴f（x）=4x2-4x+1．
∴g(x)=
f(x)+k-1
x
=
4x2-4x+1
x

=4x+class="stub"k
x
-4≥2
4x•class="stub"k
x
-4=4
k
-4，
当且仅当4x=class="stub"k
x
，即x=
k
2
时，g（x）取最小值4
k
-4．
∵g(x)=
f(x)+k-1
x
在[1，2]上是单调函数，
∴
k
2
≤1，或
k
2
≥2，
解得k≤4，或k≥16．
（2）∵g(x)=
f(x)+k-1
x
，对任意x∈[1，2]，存在x0∈[-2，2]，使g（x）＜f（x0）成立．
当x0∈[-2，2]时，f（x0）=4x02-4x0+1在x0=-2时取最大值f（x0）max=f（-2）=4×4-4×（-2）+1=25．
∴g(x)=
f(x)+k-1
x
=4x+class="stub"k
x
-4＜25在[1，2]恒成立，
∴4x2-29x+k＜0在[1，2]恒成立，
∴k＜25．
∴k的取值范围是（-∞，25）．

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