首页 > 记min{p，q}=p，p≤qq．p＞q．（1）若函数f(x)=min{x，23(x-1)}，求f（x）表达式（2）求f(x)=min{3|x-p1|，2×3|x-p2|)}=3|x-p1|，对所有实

记min{p，q}=p，p≤qq．p＞q．（1）若函数f(x)=min{x，23(x-1)}，求f（x）表达式（2）求f(x)=min{3|x-p1|，2×3|x-p2|)}=3|x-p1|，对所有实

题目简介

记min{p，q}=p，p≤qq．p＞q．（1）若函数f(x)=min{x，23(x-1)}，求f（x）表达式（2）求f(x)=min{3|x-p1|，2×3|x-p2|)}=3|x-p1|，对所有实

题目详情

记min{p，q}=
p，p≤q
q．p＞q
．
（1）若函数f(x)=min{
x
，
2
3
(x-1)}，求f（x）表达式
（2）求f(x)=min{3|x-p1|，2×3|x-p2|)}=3|x-p1|，对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；
（3）若f(x)=min{3|x-p1|，2×3|x-p2|)}，且f（a）=f（b）（a，bp1，p2为实数，且a＜bp1，p2∈（a，b））求f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）f（x）=
x
  
x
≤class="stub"2
3
(x-1)
class="stub"2
3
(x-1)
  
x
＞class="stub"2
3
(x-1)

=
x
  ，x∈[4，+∞)
&class="stub"2
3
(x-1)
 & &x∈[0，4)
5分
（2）由f（x）的定义可知，f(x)=3|x-p1|这等价于3|x-p1|≤2•3|x-p2|（对所有实数x）
即 3|x-p1|-|x-p2|≤3log32=2对所有实数x均成立．（*）                  8分
由于|x-p1|-|x-p2|≤|（x-p1）-（x-p2）|=|p1-p2|（x∈R）的最大值为|p1-p2|，
故（*）等价于3|p1-p2|≤2，即|p1-p2|≤log32，这就是所求的充分必要条件      11分
（3）1°如果|p1-p2|≤log32，则的图象关于直线x=p1对称．因为f（a）=f（b），
所以区间[a，b]关于直线x=p1对称．因为减区间为[a，p1]，增区间为[p1，b]，
所以单调增区间的长度和为class="stub"b-a
2
14分
2°如果|p1-p2|＞log32．
（1）当p1-p2＞log32时．f1（x）=
3x-p1，x∈[p1，b]
3p1-x，x∈[a，p1]
，f2（x）=
3x-p2+log32，x∈[p2，b]
3p 2-x+log32，x∈[a，p2]

当x∈[p1，b]，
f1(x)
f2(x)
=3p2-p1-log32＜30=1，因为f1（x）＞0，f2（x）＞0，所以f1（x）＜f2（x），
故f（x）=f1（x）=3x-p1，当x∈[a，p2]，
f1(x)
f2(x)
=3p1-p2-log32＞30=1，因为f1（x）＞0，f2（x）＞0，
所以f1（x）＞f2（x）故f（x）=f2（x）=3p2-x+log32
因为f（a）=f（b），所以3b-p1=3p2-a+log32，即a+b=p1+p2+log32
当x∈[p2，p1]时，令f1（x）=f2（x），则3p1-x=3x-p2+log32，所以x=
p1+p2-log32
2
，
当x∈[p2，
p1+p2-log32
2
]时，f1（x）≥f2（x），所以f（x）=f2（x）=3x-p2+log32x∈[
p1+p2-log32
2
，p1]时，f1（x）≤f2（x），所以f（x）=f1（x）=3p1-xf（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和b-p1+
p1+p2-log32
2
-p2
=b-
p1+p2+log32
2
=b-class="stub"a+b
2
=class="stub"b-a
2
16分
（2）当p2-p1＞log32时．类似可求得：f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和b-p2+
p1+p2+log32
2
-p1=b-
p1+p2-log32
2
=class="stub"b-a
2

综上得f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和为class="stub"b-a
2
18分．

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