首页 > 定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y）（x，y∈R），且当x＞0时，f（x）＞1；f（2）=4．（Ⅰ）求f（1），f（-1）的值；（Ⅱ）证明：f（x）是单调递增函数；（III）若

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y）（x，y∈R），且当x＞0时，f（x）＞1；f（2）=4．（Ⅰ）求f（1），f（-1）的值；（Ⅱ）证明：f（x）是单调递增函数；（III）若

题目简介

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y）（x，y∈R），且当x＞0时，f（x）＞1；f（2）=4．（Ⅰ）求f（1），f（-1）的值；（Ⅱ）证明：f（x）是单调递增函数；（III）若

题目详情

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y）（x，y∈R），且当x＞0时，f（x）＞1；f（2）=4．
（Ⅰ）求f（1），f（-1）的值；    
（Ⅱ）证明：f（x）是单调递增函数；
（III） 若f(x2-ax+a)≥
2
对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y）（x，y∈R），
且当x＞0时，f（x）＞1，f（2）=4，
∴f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=4，
∴f（1）=2，或f（1）=-2（舍）．
故f（1）=2．
∵f（1）=f（（-1）+2）=f（-1）•f（2），
∴f（-1）=
f(1)
f(2)
=class="stub"2
4
=class="stub"1
2
．
（Ⅱ）证明：设x1，x2∈R且x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]
∵x2-x1＞0，
∴f（x2-x1）＞1
∴f（x2-x1）-1＞0，
∵f（x1）=f（
x1
2
+
x1
2
）=[f（
x1
2
）]2＞0，
∴f（x1）f[（x2-x1）-1]＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
故f（x）在R上是增函数．
（III）∵f(x2-ax+a)≥
2
，
∴f（x2-ax+a）•f（x2-ax+a）=f（2x2-2ax+2a）≥2=f（1），
∵f（x）在R上是增函数，
∴2x2-2ax+2a≥1，
∴由f(x2-ax+a)≥
2
对任意x∈（1，+∞）恒成立，
得2x2-2ax+2a≥1对任意x∈（1，+∞）恒成立，
∵y=2x2-2ax+2a-1的对称轴是x=class="stub"a
2
，
∴在[class="stub"a
2
，+∞）上y=2x2-2ax+2a-1是单调递增函数．
∵2x2-2ax+2a≥1对任意x∈（1，+∞）恒成立，
∴class="stub"a
2
≤1，故a≤2．
∴实数a的取值范围（-∞，2]．

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