首页 > 已知函数f（x）定义域是{x|x≠k2，k∈Z，x∈R}，且f（x）+f（2-x）=0，f（x+1）=-1f(x)，当12＜x＜1时：f（x）=3x．（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）求f

已知函数f（x）定义域是{x|x≠k2，k∈Z，x∈R}，且f（x）+f（2-x）=0，f（x+1）=-1f(x)，当12＜x＜1时：f（x）=3x．（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）求f

题目简介

已知函数f（x）定义域是{x|x≠k2，k∈Z，x∈R}，且f（x）+f（2-x）=0，f（x+1）=-1f(x)，当12＜x＜1时：f（x）=3x．（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）求f

题目详情

已知函数f（x）定义域是{x|x≠
k
2
，k∈Z，x∈R}，且f（x）+f（2-x）=0，f（x+1）=-
1
f(x)
，当
1
2
＜x＜1时：f（x）=3x．
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）求f（x）在（0，
1
2
）上的表达式；
（3）是否存在正整，使得x∈（2k+
1
2
，2k+1）时，log3f（x）＞x2-kx-2k有解，并说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f（x+2）=f（x+1+1）=-class="stub"1
f(x+1)
=f（x），
所以f（x）的周期为2…（2分）
所以f（x）+f（2-x）=0⇒f（x）+f（-x）=0，
所以f（x）为奇函数．…（4分）
（2）任取x∈（0，class="stub"1
2
）⇒-x∈（-class="stub"1
2
，0）⇒1-x∈（class="stub"1
2
，1）．
∴f（x）=-f（-x）=class="stub"1
f(1-x)

∴f（x）=class="stub"1
31-x
=3x-1．…（8分）
（3）任取x∈（2k+class="stub"1
2
，2k+1）⇒x-2k∈（class="stub"1
2
，1），
∴f（x）=f（x-2k）=3x-2k；
∴log3f（x）＞x2-kx-2k有解
即x2-（k+1）x＜0在x∈（2k+class="stub"1
2
，2k+1）上有解（k∈N+），
所以：（0，k+1）∩（2k+class="stub"1
2
，2k+1）≠∅，
故有k+1＞2k+class="stub"1
2
，无解．
故不存在这样的正整数．…（12分）

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