首页 > 已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且满足下列条件：①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，且f（1）=4；②若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且满足下列条件：①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，且f（1）=4；②若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-

题目简介

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且满足下列条件：①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，且f（1）=4；②若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-

题目详情

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且满足下列条件：
①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，且f（1）=4；
②若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-3．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求证：f（x）≤4；
（Ⅲ）当x∈(
1
3n
，
1
3n-1
](n=1，2，3，…)时，试证明：f（x）＜3x+3．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）令x1=x2=0，
由①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，∴f（0）≥3（1分）
又由②得f（0）≥2f（0）-3，即f（0）≤3；（2分）
∴f（0）=3．（3分）
（Ⅱ）任取x1，x2∈[0，1]，且设x1＜x2，
则f（x2）=f[x1+（x2-x1）]≥f（x1）+f（x2-x1）-3，
因为x2-x1＞0，所以f（x2-x1）≥3，即f（x2-x1）-3≥0，
∴f（x1）≤f（x2）．（5分）
∴当x∈[0，1]时，f（x）≤f（1）=4．（6分）

（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：f(class="stub"1
3n-1
)≤class="stub"1
3n-1
+3(n∈N*)
（1）当n=1时，f(1)=f(class="stub"1
30
)=4=1+3=class="stub"1
30
+3（2），不等式成立；（7分）
（3）假设当n=k时，f(class="stub"1
3k-1
)≤class="stub"1
3k-1
+3(k∈N*)（4）
由f(class="stub"1
3k-1
)=f[class="stub"1
3k
+(class="stub"1
3k
+class="stub"1
3k
)]≥f(class="stub"1
3k
)+f(class="stub"1
3k
+class="stub"1
3k
)-3≥f(class="stub"1
3k
)+f(class="stub"1
3k
)+f(class="stub"1
3k
)-6
得3f(class="stub"1
3k
)≤f(class="stub"1
3k-1
)+6≤class="stub"1
3k-1
+9.
即f(class="stub"1
3k
)≤class="stub"1
3k
+3.
所以，当n=k+1时，不等式成立；（10分）
由（1）、（2）可知，不等式f(class="stub"1
3n-1
)≤class="stub"1
3n-1
+3对一切正整数都成立．（11分）
于是，当x∈(class="stub"1
3n
，class="stub"1
3n-1
](n=1，2，3，)时，3x+3＞3×class="stub"1
3n
+3=class="stub"1
3n-1
+3≥f(class="stub"1
3n-1
)，
所以，f(x)≤f(class="stub"1
3n-1
)≤3x+3.（13分）

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