已知函数f(x)满足:f(1)=14,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2012)=()A.14B.-14C.12D.-12-数学

题目简介

已知函数f(x)满足:f(1)=14,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2012)=()A.14B.-14C.12D.-12-数学

题目详情

已知函数f(x)满足:f(1)=
1
4
,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R)
,则f(2012)=(  )
A.
1
4
B.-
1
4
C.
1
2
D.-
1
2
题型:单选题难度:偏易来源:不详

答案

∵4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)
取x=1,y=0得f(0)=class="stub"1
2

法一:∵f(1)=class="stub"1
4

取x=1,y=1得f(2)=-class="stub"1
4

取x=2,y=1得f(3)=-class="stub"1
2

取x=2,y=2得f(4)=-class="stub"1
4

取x=3,y=2得f(5)=-class="stub"7
16

取x=3,y=3得f(6)=class="stub"1
2

猜想得周期为6
∴f(2012)=f(2)=-class="stub"1
4

法二:取x=1,y=0得f(0)=class="stub"1
2

取x=n,y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),
同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)
联立得f(n+2)=-f(n-1)
所以f(n)=-f(n+3)=f(n+6)
所以函数是周期函数,周期T=6,
故f(2012)=f(2)=-class="stub"1
4

故选B

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