已知函数f(x)=bx+cax2+1(a,c∈R,a>0,b是自然数)是奇函数,f(x)有最大值12,且f(1)>25,试求函数f(x)的解析式.-数学

题目简介

已知函数f(x)=bx+cax2+1(a,c∈R,a>0,b是自然数)是奇函数,f(x)有最大值12,且f(1)>25,试求函数f(x)的解析式.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
bx+c
ax2+1
(a,c∈R,a>0,b
是自然数)是奇函数,f(x)有最大值
1
2
,且f(1)>
2
5
,试求函数f(x)的解析式.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

由f(x)为奇函数得f(-x)+f(x)=0,即class="stub"bx+c
ax2+1
+class="stub"-bx+c
ax2+1
=0,
∴c=0.
 又a>0,b是自然数,
∴当x<0时,f(x)<0,
 当x>0时,f(x)>0,
故f(x)的最大值class="stub"1
2
必在x>0时取得;
当x>0时,f(x)=class="stub"bx
ax2+1
=class="stub"b
ax+class="stub"1
x
class="stub"b
2
a

当且仅当ax=class="stub"1
x
,即x=class="stub"1
a
时取得class="stub"b
2
a
=class="stub"1
2
,即a=b2,
又f(1)>class="stub"2
5

class="stub"b
b2+1
class="stub"2
5

∴2b2-5b+2<0,即(2b-1)(b-2)<0,
class="stub"1
2
<b<2 又a>0,b是自然数可得a=b=1,
∴f(x)=class="stub"x
x2+1

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