已知函数f(x)=13x3+a-32x2+(a2-3a)x-2a(1)如果对任意x∈(1,2],f'(x)>a2恒成立,求实数a的取值范围;(2)设实数f(x)的两个极值点分别为x1x2判断

题目简介

已知函数f(x)=13x3+a-32x2+(a2-3a)x-2a(1)如果对任意x∈(1,2],f'(x)>a2恒成立,求实数a的取值范围;(2)设实数f(x)的两个极值点分别为x1x2判断

题目详情

已知函数f(x)=
1
3
x3+
a-3
2
x2+(a2-3a)x-2a
(1)如果对任意x∈(1,2],f'(x)>a2恒成立,求实数a的取值范围;
(2)设实数f(x)的两个极值点分别为x1x2判断①x1+x2+a②x12+x22+a2③x13+x23+a3是否为定值?若是定值请求出;若不是定值,请把不是定值的表示为函数g(a)并求出g(a)的最小值;
(3)对于(2)中的g(a),设H(x)=
1
9
[g(x)-27],m,n∈(0,1)且m≠n,试比较|H(m)-H(n)|与|em-en|(e为自然对数的底)的大小,并证明.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵函数f(x)=class="stub"1
3
x3+class="stub"a-3
2
x2+(a2-3a)x-2a
∴函数f′(x)=x2+(a-3)x+(a2-3a)
则f′(x)-a2=x2+(a-3)x-3a=(x+a)(x-3)
若对任意x∈(1,2],f'(x)>a2恒成立,
则对任意x∈(1,2],f′(x)-a2>0恒成立
则a<-2.
(2)令f′(x)=0
则x=3或x=-a
则①x1+x2+a=3为定值;
②x12+x22+a2=2a2+9不为定值;
此时g(a)=2a2+9,当a=0时有最小值9;
③x13+x23+a3=27为定值;
(3)∵g(a)=2a2+9,
∴H(x)=class="stub"1
9
[g(x)-27]=class="stub"1
9
(2x2-18),
令F(x)=H(x)-ex=class="stub"1
9
(2x2-18)-ex,
则F′(x)=class="stub"4
9
x-ex,
当x∈(0,1)时,F′(x)<0恒成立
即F(x)在区间(0,1)上为减函数
当m,n∈(0,1)且m≠n时,不妨令m>n
则F(m)-F(n)=[H(m)-em]-[H(n)-en]<0
即[H(m)-em]<[H(n)-en]
即H(m)-H(m)<em-en,
即|H(m)-H(n)|<|em-en|

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