首页 > 已知函数f(x)=axax+a(a＞0，a≠1)（1）求f（x）+f（1-x）及f(110)+f(210)+f(310)+…+f(910)的值；（2）是否存在自然数a，使af(n)f(1-n)＞n2对

已知函数f(x)=axax+a(a＞0，a≠1)（1）求f（x）+f（1-x）及f(110)+f(210)+f(310)+…+f(910)的值；（2）是否存在自然数a，使af(n)f(1-n)＞n2对

题目简介

已知函数f(x)=axax+a(a＞0，a≠1)（1）求f（x）+f（1-x）及f(110)+f(210)+f(310)+…+f(910)的值；（2）是否存在自然数a，使af(n)f(1-n)＞n2对

题目详情

已知函数f(x)=
ax
ax+
 a 
( a＞0，a≠1 )
（1）求f（x）+f（1-x）及f(
1
10
)+f(
2
10
)+f(
3
10
)+…+f(
9
10
)的值；
（2）是否存在自然数a，使
a
f(n)
f (1-n)
＞n2对一切n∈N都成立，若存在，求出自然数a的最小值；不存在，说明理由；
（3）利用（2）的结论来比较
1
4
n (n+1 )•lg3和lg（n！）（n∈N）的大小．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）f（x）+f（1-x）
=
ax
ax+
a
+
a1-x
a1-x+
a

=
ax
ax+
a
+class="stub"a
a+ax
a

=
2aax+a2x
a
+a
a
(ax+
a
)(a+ax
a
) 

=1．
f(class="stub"1
10
)+f(class="stub"2
10
)+f(class="stub"3
10
)+…+f(class="stub"9
10
)
=[f(class="stub"1
10
) +f(class="stub"9
10
) ]+[f(class="stub"2
10
)+f(class="stub"8
10
) ]+[f(class="stub"3
10
) +f(class="stub"7
10
) ]+[f(class="stub"4
10
) +f(class="stub"6
10
) ]+f(class="stub"1
2
)
=4+
a
2
a

=class="stub"9
2
．
（2）假设存在自然数a，使
a
f(n)
f(1-n)
＞n2对一切n∈N都成立．
由f(n)=
an
an+
a
，f(1-n)=
a
a
+an

得
a
f(n)
f(1-n)
=…=
a
an
a
=an，
当a=1，2时，不等式an＞n2显然不成立．
当a≥3时，an≥3n＞n2，
当n=1时，显然3＞1，
当n≥2时，3n=(1+2)n=1+
C1n
×2+
C2n
×22+…≥1+2n+4×
n(n-1)
2
=2n2+1＞n2成立，
则 3n＞n2对一切n∈N都成立．
所以存在最小自然数a=3．
（3）由3n＞n2⇒3class="stub"n
2
＞n（n∈N），
所以3class="stub"1
2
＞1＞0，3class="stub"2
2
＞2＞0，…，3class="stub"n
2
＞n＞0，
相乘得3class="stub"1
2
(1+2+…+n)＞n!，3
n(n+1)
4
＞n!，class="stub"1
4
(n+1)nlg3＞lgn!成立．

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