已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0对任意实数x,都有f(x)-x≥0,并且当x∈(0,2)时,有f(x)≤(x+12)2(1)求f(1)的值;(2)证明:a>0、c>

题目简介

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0对任意实数x,都有f(x)-x≥0,并且当x∈(0,2)时,有f(x)≤(x+12)2(1)求f(1)的值;(2)证明:a>0、c>

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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0对任意实数x,都有f(x)-x≥0,并且当x∈(0,2)时,有f(x)≤(
x+1
2
)2

(1)求f(1)的值;
(2)证明:a>0、c>0;
(3)当x∈[-1,1]时,g(x)=f(x)-mx(m∈R)是单调的,求证:m≤0或m≥1.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由条件可知x≤f(x)≤(class="stub"x+1
2
)
2
对任意实数x∈(0、2)恒成立,取x=1得1≤f(1)≤1,故f(1)=1.
(2)由f(-1)=0得a-b+c=0,故b=class="stub"1
2
,a+c=class="stub"1
2

由对任意实数x,都有f(x)-x≥0得ax2+(b-1)x+c≥0,
所以
a>0
△= (b-1)2  -4ac≤0
,即
a>0
△=  class="stub"1
4
 -4ac≤0
,即
a>0
ac≥class="stub"1
16

故a>0,c>0
(3)由(2)可知f(x)=class="stub"1
4
x2+class="stub"1
2
x+class="stub"1
4
g(x)=class="stub"1
4
x2+class="stub"1
2
x+class="stub"1
4
-mx
在[-1、1]单调,
g′(x)=class="stub"1
2
x+class="stub"1
2
-m
≥0或≤0在[-1、1]上恒成立,
所以m≤(class="stub"1
2
x+class="stub"1
2
)
min
=0
m≥(class="stub"1
2
x+class="stub"1
2
)
max
=1

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