首页 > 已知f（x）是定义在R上不恒为0的函数，且对于任意的a，b∈R有f（ab）=af（b）+bf（a）．（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（3）若f（2）=2，求

已知f（x）是定义在R上不恒为0的函数，且对于任意的a，b∈R有f（ab）=af（b）+bf（a）．（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（3）若f（2）=2，求

题目简介

已知f（x）是定义在R上不恒为0的函数，且对于任意的a，b∈R有f（ab）=af（b）+bf（a）．（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（3）若f（2）=2，求

题目详情

已知f（x）是定义在R上不恒为0的函数，且对于任意的a，b∈R有f（ab）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f（2）=2，求使得
f(2-n)
n
＞-
1
8
(n∈N*)成立的最小正整数n的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）令a=b=0，则f（0）=0；令a=b=1，则f（1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0…（3分）
（2）∵f（x）的定义域为R，令a=-1，b=x，则f（-x）=-f（x）+xf（-1），
再令a=-1，b=-1，则f（1）=-f（-1）-f（-1）=-2f（-1）=0⇒f（-1）=0，
故f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数   …（7分）
（3）当ab≠0时，
f(ab)
ab
=
f(a)
a
+
f(b)
b

令g(x)=
f(x)
x
，即f（x）=xg（x），则g（ab）=g（a）+g（b）⇒g（an）=ng（a）
故f（an）=ang（an）=nang（a）=nan-1•ag（a）=nan-1f（a）⇒
f(an)
n
=an-1f(a)，
故
f(2-n)
n
=(class="stub"1
2
)n-1f(class="stub"1
2
)，∵f(1)=f(2×class="stub"1
2
)=2f(class="stub"1
2
)+class="stub"1
2
f(2)=2f(class="stub"1
2
)+1=0，∴f(class="stub"1
2
)=-class="stub"1
2
，
由
f(2-n)
n
＞-class="stub"1
8
(n∈N*)⇔(class="stub"1
2
)n-1f(class="stub"1
2
)＞-class="stub"1
8
⇔(class="stub"1
2
)n＜class="stub"1
8
⇔n＞3
故符合题意的最小正整数n的值为4．   …（12分）

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