设函数f(x)=x3+4x(1)用定义证明f(x)在R上为奇函数;(2)判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并用定义证明.-数学

题目简介

设函数f(x)=x3+4x(1)用定义证明f(x)在R上为奇函数;(2)判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并用定义证明.-数学

题目详情

设函数f(x)=x3+4x
(1)用定义证明f(x)在R上为奇函数;
(2)判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并用定义证明.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由题设知f(x)的定义域为R,关于原点对称.(2分)
因为f(-x)=(-x)3+4(-x)=-x3-4x=-f(x),
所以f(x)是奇函数(6分)
(2)f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数(7分)
证明:任意取x1,x2∈(-∞,+∞)且x1<x2f(x1)-f(x2)=(x13-x23)+4(x1-x2)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22+4)
=(x1-x2)[(x1+
x2
2
)2+
3
x22
4
+4]
(11分)
因为x1<x2所以x1-x2<0
因为(x1+
x2
2
)2+
3
x22
4
+4>0
显然成立
所以f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2)
所以f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数.(14分)

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