设函数f(x)=3sinθ3x3+cosθ2x2+4x-1,其中θ∈[0,5π6],则导数f′(-1)的取值范围是______.-数学

题目简介

设函数f(x)=3sinθ3x3+cosθ2x2+4x-1,其中θ∈[0,5π6],则导数f′(-1)的取值范围是______.-数学

题目详情

设函数f(x)=
3
sinθ
3
x3+
cosθ
2
x2+4x-1
,其中θ∈[0,
6
],则导数f′(-1)的取值范围是______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

由f(x)=
3
sinθ
3
x3+class="stub"cosθ
2
x2+4x-1
得,f'(x)=
3
sinθ
x2+cosθx+4,
则f′(-1)=
3
sinθ
-cosθ+4=2sin(θ-class="stub"π
6
)
+4,
∵θ∈[0,class="stub"5π
6
],∴-class="stub"π
6
<θ-class="stub"π
6
class="stub"2π
3
,∴-class="stub"1
2
sin(θ-class="stub"π
6
)
≤1,
∴-1<2sin(θ-class="stub"π
6
)
≤2,即3<2sin(θ-class="stub"π
6
)
+4≤6,
故导数f′(-1)的取值范围是(3,6].
故答案为:(3,6].

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