首页 > 已知实数a≤0，函数f（x）=|x|（x-a）．（I）讨论f（x）在R上的奇偶性；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）求函数f（x）在闭区间[-1，12]的最大值．-数学

已知实数a≤0，函数f（x）=|x|（x-a）．（I）讨论f（x）在R上的奇偶性；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）求函数f（x）在闭区间[-1，12]的最大值．-数学

题目简介

已知实数a≤0，函数f（x）=|x|（x-a）．（I）讨论f（x）在R上的奇偶性；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）求函数f（x）在闭区间[-1，12]的最大值．-数学

题目详情

已知实数a≤0，函数f（x）=|x|（x-a）．
（I）讨论f（x）在R上的奇偶性；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在闭区间[-1，
1
2
]的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x|x|，此时函数f（x）为奇函数．
当a＜0时，f（x）为非奇非偶函数．
（Ⅱ）当a=0时，f（x）=x|x|=
x2，x≥0
-x2，x＜0
，
此时函数f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）．
当a＜0时，f（x）=|x|（x-a）=
x(x-a)，x≥0
-x(x-a)，x＜0
，
此时函数f（x）的增区间为（-∞，class="stub"a
2
），（0，+∞），函数f（x）的减区间为[class="stub"a
2
，0]．
（Ⅲ）①当class="stub"a
2
≤-1即a≤-2时，f(-1)=-1-a，f(class="stub"1
2
)=class="stub"1
4
-class="stub"a
2
，
当a≤-class="stub"5
2
时，f(-1)≥f(class="stub"1
2
)，此时函数f（x）的最大值为f（-1）=-1-a．
当-class="stub"5
2
＜a≤-2时，f(-1)＜f(class="stub"1
2
)，此时函数f（x）的最大值为f(class="stub"1
2
)=class="stub"1
4
-class="stub"a
2
．
②当-1＜class="stub"a
2
≤0即-2＜a≤0，f(class="stub"1
2
)=class="stub"1
4
-class="stub"a
2
，f(class="stub"a
2
)=-class="stub"a
2
⋅|class="stub"a
2
|=
a2
4
，f(class="stub"1
2
)-f(class="stub"a
2
)=class="stub"1
4
-class="stub"a
2
-
a2
4
=-class="stub"1
4
(a+1)2+class="stub"1
2
＞0，
所以f(class="stub"1
2
)＞f(class="stub"a
2
)，所以当-2＜a≤0时，函数f（x）的最大值为f(class="stub"1
2
)=class="stub"1
4
-class="stub"a
2
．
综上，当a≤-class="stub"5
2
时，函数的最大值为f（-1）=-1-a．
当-class="stub"5
2
＜a≤0时，函数f（x）的最大值为f(class="stub"1
2
)=class="stub"1
4
-class="stub"a
2
．

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