首页 > 对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）

题目简介

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）

题目详情

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，求
（1）函数f（x）=x3-3x2+3x对称中心为______．
（2）若函数g（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
1
x-
1
2
，则g（
1
2011
）+g（
2
2011
）+g（
3
2011
）+g（
4
2011
）+…+g（
2010
2011
）=______．
题型：填空题难度：中档来源：孝感一模

答案

（1）∵函数f（x）=x3-3x2+3x，∴f′（x）=3x2 -6x+3，∴f″（x）=6x-6．
令 f″（x）=6x-6=0，解得 x=1，且f（1）=1，故函数f（x）=x3-3x2+3x对称中心为（1，1），
故答案为 （1，1）．
（2）若函数g（x）=class="stub"1
3
x3-class="stub"1
2
x2+3x-class="stub"5
12
+class="stub"1
x-class="stub"1
2
=class="stub"1
3
x3-class="stub"1
2
x2+3x-class="stub"5
12
+class="stub"2
2x-1
，令h（x）=class="stub"1
3
x3-class="stub"1
2
x2+3x-class="stub"5
12
，m（x）=class="stub"2
2x-1
，则g（x）=h（x）+m（x）．
 则h′（x）=x2-x+3，h″（x）=2x-1，令h″（x）=0，可得x=class="stub"1
2
，故h（x）的对称中心为（class="stub"1
2
，1）．
设点p（x0，y0）为曲线上任意一点，则点P关于（class="stub"1
2
，1）的对称点P′（1-x0，2-y0）也在曲线上，
∴h（1-x0）=2-y0 ，∴h（x0）+h（1-x0）=y0+（2-y0）=2．
∴h（class="stub"1
2011
）+h（class="stub"2
2011
）+h（class="stub"3
2011
）+h（class="stub"4
2011
）+…+h（class="stub"2010
2011
）
=[h（class="stub"1
2011
）+h（class="stub"2010
2011
）]+[h（class="stub"2
2011
）+h（class="stub"2009
2011
）]+[h（class="stub"3
2011
）+h（class="stub"2008
2011
）]+…+[h（class="stub"1005
2011
）+h（class="stub"1006
2011
）]=1005×2=2010．
由于函数m（x）=class="stub"2
2x-1
的对称中心为（class="stub"1
2
，0），可得m（x0）+m（1-x0）=0．
∴m（class="stub"1
2011
）+m（class="stub"2
2011
）+m（class="stub"3
2011
）+m（class="stub"4
2011
）+…+m（class="stub"2010
2011
）
=[m（class="stub"1
2011
）+m（class="stub"2010
2011
）]+[m（class="stub"2
2011
）+m（class="stub"2009
2011
）]+[m（class="stub"3
2011
）+m（class="stub"2008
2011
）]+…+[m（class="stub"1005
2011
）+m（class="stub"1006
2011
）]=1005×0=0．
∴g（class="stub"1
2011
）+g（class="stub"2
2011
）+g（class="stub"3
2011
）+g（class="stub"4
2011
）+…+g（class="stub"2010
2011
）=h（class="stub"1
2011
）+h（class="stub"2
2011
）+h（class="stub"3
2011
）+h（class="stub"4
2011
）+…+h（class="stub"2010
2011
）
+m（class="stub"1
2011
）+m（class="stub"2
2011
）+m（class="stub"3
2011
）+m（class="stub"4
2011
）+…+m（class="stub"2010
2011
）
=2010+0=2010，
故答案为2010．

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