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已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）（1）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数数；（2）若f（13）=-1，求

题目简介

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）（1）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数数；（2）若f（13）=-1，求

题目详情

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）
（1）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数数；
（2）若f（
1
3
）=-1，求满足不等式f（x）-f（
1
x-2
）＞2的x的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
则
x2
x1
＞1，
∴f（
x2
x1
）＞0，
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（
x2
x1
•x1）=f（x1）-f（
x2
x1
）-f（x1）=-f（
x2
x1
）＜0
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）令x=class="stub"1
3
，y=1得，f（class="stub"1
3
×1）=f（class="stub"1
3
）+f（1），∴f（1）=0．
令x=3，y=class="stub"1
3
得，f（1）=f（3×class="stub"1
3
）=f（3）+f（class="stub"1
3
），
∵f（class="stub"1
3
）=-1，∴f（3）=1．
令x=y=3得，f（9）=f（3）+f（3）=2，
∴f（x）-f（class="stub"1
x-2
）＞f（9），f（x）＞f（class="stub"9
x-2
）
∴
x＞0
x-2＞0
x(x-2)＞9
，
解得x＞1+
10
．
∴x的取值范围为（1+
10
，+∞）

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