首页 > 对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f(x)=x2+abx-c(b，c∈N*)有且仅有两个不动点0、2，且f(-2)＜-12．（1）试求函数f

对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f(x)=x2+abx-c(b，c∈N*)有且仅有两个不动点0、2，且f(-2)＜-12．（1）试求函数f

题目简介

对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f(x)=x2+abx-c(b，c∈N*)有且仅有两个不动点0、2，且f(-2)＜-12．（1）试求函数f

题目详情

对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f(x)=
x2+a
bx-c
(b，c∈N*)有且仅有两个不动点0、2，且f(-2)＜-
1
2
．
（1）试求函数f（x）的单调区间；
（2）已知各项不为零的数列{an}满足4Sn•f(
1
an
)=1，求证：-
1
an+1
＜ln
n+1
n
＜-
1
an
；
（3）设bn=-
1
an
，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：T2008-1＜ln2008＜T2007．
题型：解答题难度：中档来源：湖北模拟

答案

（1）设
x2+a
bx-c
=x⇒(1-b)x2+cx+a=0(b≠1)⇒
2+0=-class="stub"c
1-b
2×0=class="stub"a
1-b
∴
a=0
b=1+class="stub"c
2
∴f(x)=
x2
(1+class="stub"c
2
)x-c

由f(-2)=class="stub"-2
1+c
＜-class="stub"1
2
⇒-1＜c＜3
又∵b，c∈N*∴c=2，b=2
∴f(x)=
x2
2(x-1)
(x≠1)…（3分）
于是f′(x)=
2x•2(x-1)-x2•2
4(x-1)2
=
x2-2x
2(x-1)2

由f'（x）＞0得x＜0或x＞2；   由f'（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜2
故函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）和（2，+∞），
单调减区间为（0，1）和（1，2）…（4分）
（2）由已知可得2Sn=an-an2，当n≥2时，2Sn-1=an-1-an-12
两式相减得（an+an-1）（an-an-1+1）=0
∴an=-an-1或an-an-1=-1
当n=1时，2a1=a1-a12⇒a1=-1，若an=-an-1，则a2=1这与an≠1矛盾
∴an-an-1=-1∴an=-n…（6分）
于是，待证不等式即为class="stub"1
n+1
＜lnclass="stub"n+1
n
＜class="stub"1
n
．
为此，我们考虑证明不等式class="stub"1
x+1
＜lnclass="stub"x+1
x
＜class="stub"1
x
，x＞0
令1+class="stub"1
x
=t，x＞0，则t＞1，x=class="stub"1
t-1

再令g（t）=t-1-lnt，g′(t)=1-class="stub"1
t
由t∈（1，+∞）知g'（t）＞0
∴当t∈（1，+∞）时，g（t）单调递增∴g（t）＞g（1）=0于是t-1＞lnt
即class="stub"1
x
＞lnclass="stub"x+1
x
，x＞0①
令h(t)=lnt-1+class="stub"1
t
，h′(t)=class="stub"1
t
-class="stub"1
t2
=class="stub"t-1
t2
由t∈（1，+∞）知h'（t）＞0
∴当t∈（1，+∞）时，h（t）单调递增∴h（t）＞h（1）=0于是lnt＞1-class="stub"1
t

即lnclass="stub"x+1
x
＞class="stub"1
x+1
，x＞0②
由①、②可知class="stub"1
x+1
＜lnclass="stub"x+1
x
＜class="stub"1
x
，x＞0…（10分）
所以，class="stub"1
n+1
＜lnclass="stub"n+1
n
＜class="stub"1
n
，即1-class="stub"1
an
＜lnclass="stub"n+1
n
＜-class="stub"1
an
…（11分）
（3）由（2）可知bn=class="stub"1
n
则Tn=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n

在class="stub"1
n+1
＜lnclass="stub"n+1
n
＜class="stub"1
n
中令n=1，2，3，…，2007，并将各式相加得class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
2008
＜lnclass="stub"2
1
+lnclass="stub"3
2
+…+lnclass="stub"2008
2007
＜1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
2007

即T2008-1＜ln2008＜T2007…（14分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网