首页 > 设函数y=f（x）的定义域为全体R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立，数列{an}满足a1=f（0），且f(an+1)=1f(-2-an)（n∈

设函数y=f（x）的定义域为全体R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立，数列{an}满足a1=f（0），且f(an+1)=1f(-2-an)（n∈

题目简介

设函数y=f（x）的定义域为全体R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立，数列{an}满足a1=f（0），且f(an+1)=1f(-2-an)（n∈

题目详情

设函数y=f（x）的定义域为全体R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立，数列{an}满足a1=f（0），且f(an+1)=
1
f(-2-an)
（n∈N*）
（1）求证：y=f（x）是R上的减函数．
（2）求证：{an}是等差数列，并求通项an．
（3）若不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥k
2n+1
对一切n∈N*均成立，求k的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）令x=-1，y=0，得f（-1）=f（-1）•f（0），
由题意知f（-1）≠0，所以f（0）=1，故a1=f（0）=1．
当x＞0时，-x＜0，f（0）=f（-x）•f（x）=1，进而得0＜f（x）＜1．
设x1，x2∈R且x1＜x2，则x2-x1＞0，0＜f（x2-x1）＜1，f（x2）-f（x1）=f（x1+（x2-x1））-f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]＜0．
即f（x2）＜f（x1），所以y=f（x）是R上的减函数．

（2）由f(an+1)=class="stub"1
f(-2-an)
得f（an+1）f（-2-an）=1，
所以f（an+1-an-2）=f（0）．
因为y=f（x）是R上的减函数，所以an+1-an-2=0，
即an+1-an=2，
所以{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以an=1+（n-1）×2=2n-1．

（3）由(1+class="stub"1
a1
)(1+class="stub"1
a2
)(1+class="stub"1
an
)≥k
2n+1
对一切n∈N*均成立．
知k≤
(1+class="stub"1
a1
)(1+class="stub"1
a2
)(1+class="stub"1
an
)
2n+1
对一切n∈N*均成立．
设F(n)=
(1+class="stub"1
a1
)(1+class="stub"1
a2
)(1+class="stub"1
an
)
2n+1
，
知F（n）＞0且F(n+1)=
(1+class="stub"1
a1
)(1+class="stub"1
a2
)(1+class="stub"1
an
)(1+class="stub"1
an+1
)
2n+3
，
又
F(n+1)
F(n)
=
2(n+1)
2n+1
2n+3
=
2(n+1)
4(n+1)2-1
＞1．
故F（n）为关于n的单调增函数，F(n)≥F(1)=
2
3
3
．
所以k≤
2
3
3
，k的最大值为
2
3
3

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网