设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（1）若b=-12，求f（x）的单调递增区间；（2）如果函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；（3）求证对任意的n∈N*，

题目简介

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b=-12，求f（x）的单调递增区间；
（2）如果函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；
（3）求证对任意的n∈N^*，不等式ln

n+1

＞

n-1

恒成立

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）由题意知，f（x）的定义域为（-1，+∞），b=-12时，
由f′(x)=2x-class="stub"12

x+1

2x2+2x-12

x+1

=0，得x=2（x=-3舍去），
当x∈（-1，2）时，f'（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，
所以当x∈（2，+∞）时，f（x）单调递增．
（2）由题意f′(x)=2x+class="stub"b

x+1

2x2+2x+b

x+1

=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
即2x2+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
设g（x）=2x2+2x+b，则

△=4-8b＞0

g(-1)＞0

，
解之得0＜b＜class="stub"1

（3）对于函数f（x）=x2-ln（x+1），令函数h（x）=x3-f（x）=x3-x2+ln（x+1）
则h′(x)=3x2-2x+class="stub"1

x+1

3x3+(x-1)2

x+1

，当x∈[0，+∞）时，h'（x）＞0，
所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，
又h（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0
即x2＜x3+ln（x+1）恒成立．取x=class="stub"1

∈(0，+∞)，
则有ln(class="stub"1

+1)＞class="stub"1

-class="stub"1

恒成立．