首页 > 已知向量a=（cosx，sinx），b=(2cosx2，-2sinx2)，且x∈(-π9，2π9]．求：（1）a•b和|a-b|的取值范围；（2）函数f（x）=a•b-|a-b|的最小值．-数学

已知向量a=（cosx，sinx），b=(2cosx2，-2sinx2)，且x∈(-π9，2π9]．求：（1）a•b和|a-b|的取值范围；（2）函数f（x）=a•b-|a-b|的最小值．-数学

题目简介

已知向量a=（cosx，sinx），b=(2cosx2，-2sinx2)，且x∈(-π9，2π9]．求：（1）a•b和|a-b|的取值范围；（2）函数f（x）=a•b-|a-b|的最小值．-数学

题目详情

已知向量
a
=（cosx，sinx），
b
=(2cos
x
2
，-2sin
x
2
)，且x∈(-
π
9
，
2π
9
]．
求：（1）
a
•
b
和|
a
-
b
|的取值范围；
（2）函数f（x）=
a
•
b
-|
a
-
b
|的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵
a
=（cosx，sinx），
b
=(2cosclass="stub"x
2
，-2sinclass="stub"x
2
)
∴a•b=cosx•2cosclass="stub"x
2
+sinx•(-sinclass="stub"x
2
)=2(cosx•cosclass="stub"x
2
-sinx•sinclass="stub"x
2
)=2cosclass="stub"3x
2

又∵x∈(-class="stub"π
9
，class="stub"2π
9
]，
∴class="stub"3x
2
∈(-class="stub"π
6
，class="stub"π
3
]⇒cosclass="stub"3x
2
∈[class="stub"1
2
，1]
∴2cosclass="stub"3x
2
∈[1，2]即
a
•
b
∈[1，2]
∵|a-b|=
|a-b|2
=
(a-b)2
=
a2-2a•b+b2

=
(cos2x+sin2x)+(4cos2class="stub"x
2
+4sin2class="stub"x
2
)-2•2cosclass="stub"3x
2

=
1+4-4cosclass="stub"3x
2
=
5-4cosclass="stub"3x
2

又∵cosclass="stub"3x
2
∈[class="stub"1
2
，1]∴-4cosclass="stub"3x
2
∈[-4，-2]
∴
5-4cosclass="stub"3x
2
∈[1，
3
]；
（2）由（1）知：f（x）=
a
•
b
-|
a
-
b
|=2cosclass="stub"3x
2
-
5-4cosclass="stub"3x
2

设
5-4cosclass="stub"3x
2
=t，则t2=5-4cosclass="stub"3x
2
，2cosclass="stub"3x
2
=
5-t2
2

∴f(x)=
5-t2
2
-t=-class="stub"1
2
t2-t+class="stub"5
2
=-class="stub"1
2
(t2+2t+1)+class="stub"5
2
+class="stub"1
2
=-class="stub"1
2
(t+1)2+3(t∈[1，
3
])
∴由图象可知：当t=
3
时，函数f（x）取得最小值f(x)min=-class="stub"1
2
(
3
+1)2+3=1-
3
．

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