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函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R，且x≠0}，对定义域D内任意两个实数x1，x2，都有f（x1）+f（x2）=f（x1x2）成立．（1）求f（-1）的值并证明y=f（x）为偶函数；（2）若f（

题目简介

函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R，且x≠0}，对定义域D内任意两个实数x1，x2，都有f（x1）+f（x2）=f（x1x2）成立．（1）求f（-1）的值并证明y=f（x）为偶函数；（2）若f（

题目详情

函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R，且x≠0}，对定义域D内任意两个实数x1，x2，都有f（x1）+f（x2）=f（x1x2）成立．
（1）求f（-1）的值并证明y=f（x）为偶函数；
（2）若f（-4）=4，记 an=(-1)n•f(2n)
 &(n∈N，n≥1)
，求数列{an}的前2009项的和S2009；
（3）（理） 若x＞1时，f（x）＜0，且不等式f(
x2+y2
)≤f(
xy
)+f(a)对任意正实数x，y恒成立，求非零实数a的取值范围．
（4）（文） 若x＞1时，f（x）＜0，解关于x的不等式 f（x-3）≥0．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）赋值得f（1）=f（-1）=0，…（2分）
∵f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x）
∴函数为偶函数              …（4分）
（2）f（-4）=4得f（2）=2，f（2n）=f（2n-1）+f（2）
∴f（2n）=2n…（8分）
∴an=2•（-1）nn，
∴S2009=-2010…（10分）
（3）设 0＜x＜1，则class="stub"1
x
＞1，0=f(1)=f(x)+f(class="stub"1
x
)，得f（x）＞0（0＜x＜1）…（14分）
（理）f(
x2+y2
)≤f(
xy
)+f(a)得f(
x2+y2
a
xy
)≤0⇔
x2+y2
|a|
xy
≥1|a|≤
x2+y2
xy
恒成立，
又
x2+y2
xy
≥
2
，从而0＜|a|≤
2
…（18分）
（4）（文）f（x-3）≥0⇔0＜|x-3|≤1⇔2≤x＜3或3＜x≤4…（18分）

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