已知定义域为R的函数y=f(x)满足f(x+1)f(x-1)=1,且f(3)=3,则f(2009)=()A.3B.13C.2009D.12009-数学

题目简介

已知定义域为R的函数y=f(x)满足f(x+1)f(x-1)=1,且f(3)=3,则f(2009)=()A.3B.13C.2009D.12009-数学

题目详情

已知定义域为R的函数y=f(x)满足f(x+1)f(x-1)=1,且f(3)=3,则f(2009)=(  )
A.3B.
1
3
C.2009D.
1
2009
题型:单选题难度:中档来源:不详

答案

由题意知,对于任意的实数都有f(x+1)f(x-1)=1,
令x=2代入上式得,f(3)f(1)=1,
∵f(3)=3,∴f(1)=class="stub"1
3

令x=x+1代入得,f(x+2)f(x)=1,则f(x+2)=class="stub"1
f(x)

f(x+4)=class="stub"1
f(x+2)
=f(x),∴f(x)是周期函数且周期是4,
∴f(2009)=f(4×502+1)=f(1)=class="stub"1
3

故选B.

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