首页 > 设f（k）是满足不等式log2x+log2（3•2k-1-x）≥2K-1，（k∈N）的自然数x的个数，（1）求f（x）的解析式；（2）记Sn=f（1）+f（2）+…+f（n），求Sn解析式；（3）记P

设f（k）是满足不等式log2x+log2（3•2k-1-x）≥2K-1，（k∈N）的自然数x的个数，（1）求f（x）的解析式；（2）记Sn=f（1）+f（2）+…+f（n），求Sn解析式；（3）记P

题目简介

设f（k）是满足不等式log2x+log2（3•2k-1-x）≥2K-1，（k∈N）的自然数x的个数，（1）求f（x）的解析式；（2）记Sn=f（1）+f（2）+…+f（n），求Sn解析式；（3）记P

题目详情

设f（k）是满足不等式log2x+log2（3•2k-1-x）≥2K-1，（k∈N）的自然数x的个数，
（1）求f（x）的解析式；
（2）记Sn=f（1）+f（2）+…+f（n），求Sn解析式；
（3）记Pn=n-1，设Tn=
log2(Sn-Pn)
log2(Sn+1-Pn+1)-10.5
，对任意n∈N均有Tn＜m成立，求出整数m的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）原不等式可转化为：
x＞0
3•2k-1-x＞0
x(3•2k-1-x)≥22k-1

即
x＞0
x＜3•2k-1
x2-3•2k-1x+2k-1•2k≤0

∴2k-1≤x≤2k（4分）
∴f（k）=2k-（2k-1-1）=2k-1+1．（6′）
（2）∵Sn=f（1）+f（2）+…+f（n）
=20+21+…+2n-1+n
=2n+n-1．（10′）
（3）∵Tn=
log22n
log22n+1-10.5
=class="stub"n
n-9.5
=1+class="stub"9.5
n-9.5
，（12′）
当1≤n≤9时，Tn单调递减，此时(Tn)max=T1=-class="stub"2
17
，（14′）
当n≥10时，Tn单调递减，此时（Tn）max=T10=20，
∴（Tn）max=20，mmin=21．（16′）

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