已知f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=2x+3x+1(I)当x<0时,求f(x)的解析式;(II)用定义证明:f(x)在(0,+∞)上是减函数.-数学

题目简介

已知f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=2x+3x+1(I)当x<0时,求f(x)的解析式;(II)用定义证明:f(x)在(0,+∞)上是减函数.-数学

题目详情

已知f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=
2x+3
x+1

(I)当x<0时,求f(x)的解析式;
(II)用定义证明:f(x)在(0,+∞)上是减函数.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)当x<0时,-x>0,可得f(-x)=
2(-x)+3
(-x)+1

由于f(x)是奇函数,于是f(-x)=-f(x),
所以当x<0时,f(x)=class="stub"2x-3
1-x
.                               (4分)
(II)证明:设x1,x2是(0,+∞)上的任意两个实数,且x1<x2,
f(x1)-f(x2)=
2x1+3
x1+1
-
2x2+3
x2+1
=
x2-x1
(x1+1)(x2+1)

由0<x1<x2,得x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0,
于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)
所以函数f(x)=class="stub"2x+3
x+1
在(0,+∞)上是减函数.                    (8分)

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