已知函数f(x)=lnx,g(x)=32-ax(x为实常数).(1)当a=1时,求函数φ(x)=f(x)-g(x)在x∈[4,+∞)上的最小值;(2)若方程e2f(x)=g(x)(其中e=2.7182

题目简介

已知函数f(x)=lnx,g(x)=32-ax(x为实常数).(1)当a=1时,求函数φ(x)=f(x)-g(x)在x∈[4,+∞)上的最小值;(2)若方程e2f(x)=g(x)(其中e=2.7182

题目详情

已知函数f(x)=lnx,g(x)=
3
2
-
a
x
(x为实常数).
(1)当a=1时,求函数φ(x)=f(x)-g(x)在x∈[4,+∞)上的最小值;
(2)若方程e2f(x)=g(x)(其中e=2.71828…)在区间[
1
2
,1
]上有解,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)当a=1时,函数φ(x)=f(x)-g(x)=lnx-class="stub"3
2
-class="stub"1
x

∴φ′(x)=class="stub"1
x
+class="stub"1
x2

∵x∈[4,+∞),∴φ′(x)>0
∴函数φ(x)=f(x)-g(x)在x∈[4,+∞)上单调递增
∴x=4时,φ(x)min=2ln2-class="stub"7
4

(2)方程e2f(x)=g(x)可化为x2=class="stub"3
2
-class="stub"a
x
,∴a=class="stub"3
2
x
-x3,
设y=class="stub"3
2
x
-x3,则y′=class="stub"3
2
-3x2,
∵x∈[class="stub"1
2
,1
]
∴函数在[class="stub"1
2
2
2
]上单调递增,在[
2
2
,1]上单调递减
∵x=class="stub"1
2
时,y=class="stub"5
8
;x=
2
2
时,y=
2
2
;x=1时,y=class="stub"1
2

∴y∈[class="stub"1
2
2
2
]
∴a∈[class="stub"1
2
2
2
]

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