首页 > 已知f1（x）=3|x-1|，f2（x）=a•3|x-2|，（x∈R，a＞0）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，f(x)=f1(x)f1(x)≤f2(x)f2(x)f1(x)＞f2(x)（1）

已知f1（x）=3|x-1|，f2（x）=a•3|x-2|，（x∈R，a＞0）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，f(x)=f1(x)f1(x)≤f2(x)f2(x)f1(x)＞f2(x)（1）

题目简介

已知f1（x）=3|x-1|，f2（x）=a•3|x-2|，（x∈R，a＞0）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，f(x)=f1(x)f1(x)≤f2(x)f2(x)f1(x)＞f2(x)（1）

题目详情

已知f1（x）=3|x-1|，f2（x）=a•3|x-2|，（x∈R，a＞0）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，f(x)=
f1(x)    f1(x)≤f2(x) 
f2(x)    f1(x)＞f2(x) 

（1）若f（x）=f1（x）对所有实数x都成立，求a的取值范围；
（2）设t∈R，t＞0，且f（0）=f（t）．设函数f（x）在区间[0，t]上的单调递增区间的长度之和为d（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），求
d
t
；
（3）设g（x）=x2-2bx+3．当a=2时，若对任意m∈R，存在n∈[1，2]，使得f（m）≥g（n），求实数b的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）“f（x）=f1（x）对所有实数都成立”等价于“f1（x）≤f2（x）恒成立”，即3|x-1|≤a•3|x-2|，即|x-1|-|x-2|≤log3a恒成立，…（2分）（|x-1|-|x-2|）max=1，所以log3a≥1，a的取值范围是[3，+∞）．      …（4分）
（2）由（1）可知，当a∈[3，+∞）时，f（x）=f1（x），f（0）=3，所以t=2，函数的对称轴为x=1，函数f（x）在[0，1]上单调递减；在[1，2]上单调递增，单调递增区间的长度和为d=1，class="stub"d
t
=class="stub"1
2
．                                                        …（6分）
当f2（x）≤f1（x）恒成立时，即|x-1|-|x-2|≥log3a恒成立，（|x-1|-|x-2|）min=-1，所以log3a≤-1．
当a∈(0，class="stub"1
3
]时，f（x）=f2（x）=a•3|x-2|，函数的对称轴为x=2，由f（0）=f（t），可得t=4．函数f（x）在[0，2]上单调递减；在[2，4]上单调递增，单调递增区间的长度和为d=2，class="stub"d
t
=class="stub"1
2
．                                                      …（8分）
当a∈(class="stub"1
3
，3)时，解不等式3|x-1|≤a•3|x-2|，即解|x-1|-|x-2|≤log3a，其中-1＜log3a＜1，解得x≤class="stub"3
2
+class="stub"1
2
log3a，
所以 f(x)=
3|x-1       x≤class="stub"3
2
+class="stub"1
2
log3a 
a•3|x-2    x＞class="stub"3
2
+class="stub"1
2
log3a  
且1＜class="stub"3
2
+class="stub"1
2
log3a＜2，f（0）=3，而f（t）=a•3t-2=3，t=3-log3a，
函数f（x）在[1，class="stub"3
2
+class="stub"1
2
log3a]，[2，3-log3a]上单调递增，单调递增区间的长度和为d=(3-log3a-2)+(class="stub"3
2
+class="stub"1
2
log3a-1)=class="stub"3
2
-class="stub"1
2
log3a，class="stub"d
t
=class="stub"1
2
．           …（11分）
（3）当a=2时，f(x)=
3|x-1       x≤class="stub"3
2
+class="stub"1
2
log32 
2•3|x-2    x＞class="stub"3
2
+class="stub"1
2
log32  

即要f（x）min≥g（x）min，…（14分）f（x）min=1．g（x）=（x-b）2+2，当x∈[1，2]时，g(x)min=
4-2b，b＜1
3-b2 1≤b≤2
7-4b，b＞2

所以b的取值范围是[
2
，+∞)．                                        …（18分）

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