已知函数f(x)对任意自然数x,y均满足:f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2,且f(1)≠0,则f(2010)=()A.2010B.2009C.1005D.1004-数学

题目简介

已知函数f(x)对任意自然数x,y均满足:f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2,且f(1)≠0,则f(2010)=()A.2010B.2009C.1005D.1004-数学

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已知函数f(x)对任意自然数x,y均满足:f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2,且f(1)≠0,则f(2010)=(  )
A.2010B.2009C.1005D.1004
题型:单选题难度:偏易来源:不详

答案

取x=y=0,得f(0)=0,
   取x=0,y=1,得f(1)=f(0)+2[f(1)]2,即f(1)=2[f(1)]2.
∵f(1)≠0,
f(1)=class="stub"1
2

  取x=n,y=1,得f(n+1)=f(n)+2[f(1)]2=f(n)+class="stub"1
2

  即f(n+1)-f(n)=class="stub"1
2
,所以f(n)=class="stub"n
2

  从而f(2010)=1005,
  故选C.

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