已知函数f(x)=a(x-1)x-2,a为常数(1)若f(x)>2的解集为(2,3),求a的值(2)若f(x)<x-3对任意的x∈(2,+∞)恒成立,求a的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=a(x-1)x-2,a为常数(1)若f(x)>2的解集为(2,3),求a的值(2)若f(x)<x-3对任意的x∈(2,+∞)恒成立,求a的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
a(x-1)
x-2
,a为常数
(1)若f(x)>2的解集为(2,3),求a的值
(2)若f(x)<x-3对任意的x∈(2,+∞)恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由解集为(2,3),知x-2>0,即x>2①,
所以f(x)>2即
a(x-1)
x-2
>2
可化为a(x-1)>2(x-2),即(a-2)x>a-4,
由解集形式知:a-2<0,所以x<class="stub"a-4
a-2
②,
由①②得2<x<class="stub"a-4
a-2

所以class="stub"a-4
a-2
=3,解得a=1,;
(2)f(x)<x-3即
a(x-1)
x-2
<x-3对任意的x∈(2,+∞)恒成立,等价于a<
(x-2)(x-3)
x-1
对任意的x∈(2,+∞)恒成立,
(x-2)(x-3)
x-1
=(x-1)+class="stub"2
x-1
-3≥2
(x-1)•class="stub"2
x-1
-3=2
2
-3,
当且仅当x=
2
+1时取等号,
所以a<2
2
-3;

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