首页 > 已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a＞0），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)=g(x)x．（1）求a、b的值；（2）当12≤x≤2时，求函数f（x）的值域；（3）若不等式

已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a＞0），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)=g(x)x．（1）求a、b的值；（2）当12≤x≤2时，求函数f（x）的值域；（3）若不等式

题目简介

已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a＞0），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)=g(x)x．（1）求a、b的值；（2）当12≤x≤2时，求函数f（x）的值域；（3）若不等式

题目详情

已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a＞0），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)=
g(x)
x
．
（1）求a、b的值； 
（2）当
1
2
≤x≤2时，求函数f（x）的值域；
（3）若不等式f（2x）-k≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由于函数g（x）的对称轴为直线x=1，a＞0，
所以g（x）在[2，3]上单调递增，
则
g(2)=1
g(3)=4
，即
4a-4a+1+b=1
9a-6a+1+b=4
，解得a=1，b=0；
（2）由（1）知，f（x）=x+class="stub"1
x
-2，f′（x）=1-class="stub"1
x2
，
当x∈[class="stub"1
2
，1)时，f′（x）＜0，当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，
所以f（x）在[class="stub"1
2
，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，
当x=1时f（x）取得最小值，当x=class="stub"1
2
或x=2时f（x）取得最大值，
f(x)min=0，f(x)max=class="stub"1
2
，其值域为[0，class="stub"1
2
]；
（3）因为x∈[-1，1]，所以2x∈[class="stub"1
2
，2]，
f（2x）-k≥0在x∈[-1，1]上恒成立，等价于f（x）min≥k在[class="stub"1
2
，2]上恒成立，
由（2）知，k≤0；

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