已知函数f(x)=lnx+b•x2的图象过点(1,0)(I)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若f(x)≥tx-1nx(t为实数)恒成立,求t的取值范围;(Ⅲ)当m>0时,讨论F(x)=f(x)+x22-m2

题目简介

已知函数f(x)=lnx+b•x2的图象过点(1,0)(I)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若f(x)≥tx-1nx(t为实数)恒成立,求t的取值范围;(Ⅲ)当m>0时,讨论F(x)=f(x)+x22-m2

题目详情

已知函数f(x)=lnx+b•x2的图象过点(1,0)
(I)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)≥
t
x
-1nx(t
为实数)恒成立,求t的取值范围;
(Ⅲ)当m>0时,讨论F(x)=f(x)+
x2
2
-
m2+1
m
x
在区间(0,2)上极值点的个数.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)∵函数f(x)=1nx+b•x2的图象过点(1,0),
∴0=ln1+b•12,解得b=0,∴f(x)的解析式为f(x)=1nx;
(Ⅱ)f(x)≥class="stub"t
x
-1nx
恒成立,即lnx≥class="stub"t
x
-1nx
,由x>0可得t≤2xlnx,
构造函数h(x)=2xlnx,x>0,只需t≤hmin(x)即可,
可得h′(x)=2(lnx-1),故当x∈(0,class="stub"1
e
)时,h′(x)<0,h(x)为减函数,
当x∈(class="stub"1
e
,+∞)时,h′(x)>0,h(x)为增函数,
故hmin(x)=h(class="stub"1
e
)=-class="stub"2
e
,故t≤-class="stub"2
e

(Ⅲ)由(I)知,f(x)=1nx,F(x)=lnx+
x2
2
-
m2+1
m
x
,(x>0)
F′(x)=class="stub"1
x
+x-
m2+1
m
=
(x-m)(x-class="stub"1
m
)
x
,令其为0可得x=m,或x=class="stub"1
m

(1)当m=class="stub"1
m
时,m=1,F′(x)>0,函数在(0,2)为增函数,无极值点;
(2)当
0<m<2
0<class="stub"1
m
<2
,且m<class="stub"1
m
,即class="stub"1
2
<m<1时,可知函数有两个极值点;
(3)当
0<m<2
class="stub"1
m
>2
,或
m>2
0<class="stub"1
m
<2
,即0<m<class="stub"1
2
,或m>2时,可知函数有一个极值点.

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