首页 > 设函数f(x)=x3-tx+t-12，t∈R．（I）试讨论函数f（x）在区间[0，1]上的单调性：（II）求最小的实数h，使得对任意x∈[0，1]及任意实数t，f(x)+|t-12|+h≥0恒成立．-

设函数f(x)=x3-tx+t-12，t∈R．（I）试讨论函数f（x）在区间[0，1]上的单调性：（II）求最小的实数h，使得对任意x∈[0，1]及任意实数t，f(x)+|t-12|+h≥0恒成立．-

题目简介

设函数f(x)=x3-tx+t-12，t∈R．（I）试讨论函数f（x）在区间[0，1]上的单调性：（II）求最小的实数h，使得对任意x∈[0，1]及任意实数t，f(x)+|t-12|+h≥0恒成立．-

题目详情

设函数f(x)=x3-tx+
t-1
2
，t∈R．
（I）试讨论函数f（x）在区间[0，1]上的单调性：
（II）求最小的实数h，使得对任意x∈[0，1]及任意实数t，f(x)+|
t-1
2
|+h≥0恒成立．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵函数f(x)=x3-tx+class="stub"t-1
2
，t∈R，∴f′（x）=3x2-t．
1°若t≤0，则f′（x）≥0（不恒等于0）在[0，1]上恒成立，∴f（x）在[0，1]上单调递增；
2°若t≥3时，∵3x2≤3，∴f′（x）≤0在[0，1]上恒成立，∴f（x）在[0，1]上单调递减；
3°若0＜t＜3，则f′(x)=3(x+
class="stub"t
3
)(x-
class="stub"t
3
)，令f′（x）=0，解得x=
class="stub"t
3
，
当x∈[0，
class="stub"t
3
)时，f′（x）＜0，∴f（x）在x∈[0，
class="stub"t
3
)上单调递减；
当x∈(
class="stub"t
3
，1]时，f′（x）＞0，∴f（x）在x∈(
class="stub"t
3
，1]上单调递增．
（2）f(x)+|class="stub"t-1
2
|+h≥0⇔f(x)+|class="stub"t-1
2
|≥-h，因此，只需求出当x∈[0，1]，t∈R时，f(x)+|class="stub"t-1
2
|的最小值即可．
方法一：令g（x）=f（x）+|class="stub"t-1
2
|，x∈[0，1]，
而g′（x）=f′（x），由（1）的结论可知：
当t≤0或t≥3时，则g（x）在[0，1]上单调，故g（x）min=min{g（0），g（1）}=min{class="stub"t-1
2
+|class="stub"t-1
2
|，class="stub"1-t
2
+|class="stub"t-1
2
|}=0．
当0＜t＜3时，则g(x)min=g(
class="stub"t
3
)=-class="stub"2
3
t
class="stub"t
3
+class="stub"t-1
2
+|class="stub"t-1
2
|．
∴h（t）=
0，当t≤0或t≥3时
-class="stub"2
3
t
class="stub"t
3
+class="stub"t-1
2
+|class="stub"t-1
2
|，当0＜t＜3时
．
下面求当t∈R时，关于t的函数h（t）的最小值．
当t∈（0，1）时，h（t）=-class="stub"2t
3
class="stub"t
3
在（0，1）上单调递减；
当1＜t＜3时，h（t）=-class="stub"2t
3
class="stub"t
3
+t-1，h′(t)=1-
class="stub"t
3
＞0，∴h（t）在（1，3）上单调递增．又h（t）在t=1处连续，故h（t）在t∈（0，3）上的最小值是h（1）=-
2
3
9
．
综上可知：当t∈[0，1]且t∈R时，f(x)+|class="stub"t-1
2
|的最小值为m=-
2
3
9
，即得h的最小值为-m=
2
3
9
．
方法2：对于给定的x∈[0，1]，求关于t的函数（t∈R），
g（t）=f（x）+|class="stub"t-1
2
|=-xt+class="stub"t-1
2
+|class="stub"t-1
2
|+x3=
-xt+x3，当t＜1时
(1-x)t+x3-1，当t≥1时
的最小值．
由于-x≤0，当t∈（-∞，1）时，g′（t）≤0；由于1-x≥0，故当t∈（1，+∞）时，g′（t）≥0．
考虑到g（t）在t=1处连续，∴g（t）的最小值h（x）=x3-x．
下面再求关于x的函数h（x）=x3-x在x∈[0，1]时的最小值．
h′（x）=3x2-1，令h′（x）=0，解得x=
3
3
．
当x∈(0，
3
3
)时，h′（x）＜0，函数h（x）在此区间上单调递减；当x∈(
3
3
，1)时，h′（x）＞0，函数h（x）在此区间上单调递增．
故h（x）的最小值为h(
3
3
)=-
2
3
9
．
综上可得：当x∈（0，1）时，且t∈R.f(x)+|class="stub"t-1
2
|的最小值m=-
2
3
9
，即得h的最小值为-m=
2
3
9
．

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