已知f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求k的值;(2)判断方程f(x)=12x+b的零点的个数.-数学

题目简介

已知f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求k的值;(2)判断方程f(x)=12x+b的零点的个数.-数学

题目详情

已知f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)判断方程f(x)=
1
2
x+b的零点的个数.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
∴f(-x)=f(x)
即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx
即log4(4x+1)-(k+1)x=log4(4x+1)+kx
即2k+1=0
∴k=-class="stub"1
2

证明:(2)由(1)得f(x)=log4(4x+1)-class="stub"1
2
x
令y=log4(4x+1)-x
由于y=log4(4x+1)-x为减函数,且恒为正
故当b>0时,y=log4(4x+1)-x-b有唯一的零点,此时函数y=f(x)的图象与直线 y=class="stub"1
2
x+b
有一个交点,
当b≤0时,y=log4(4x+1)-x-b没有零点,此时函数y=f(x)的图象与直线 y=class="stub"1
2
x+b
没有交点

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